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Question

(C) दी गई अभिव्यक्ति को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \sum\limits_{r = 1}^{n} {\frac{{n + r}}{{{n^2} + {r^2}}}} $

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi }{4} + \frac{1}{2}\ln 2$

Vedclass · Answer

(C) दी गई अभिव्यक्ति को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \sum\limits_{r = 1}^{n} {\frac{{n + r}}{{{n^2} + {r^2}}}} $अंश और हर को $n^2$ से विभाजित करने पर: $= \mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \sum\limits_{r = 1}^{n} {\frac{{1 + \frac{r}{n}}}{{1 + (\frac{r}{n})^2}} \cdot \frac{1}{n}}$निश्चित समाकलन की परिभाषा का उपयोग करने पर,जहाँ $x = \frac{r}{n}$ और $dx = \frac{1}{n}$:$= \int_{0}^{1} \frac{1 + x}{1 + x^2} dx$समाकलन को अलग करने पर:$= \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x^2} dx + \int_{0}^{1} \frac{x}{1 + x^2} dx$समाकलन का मान ज्ञात करने पर:$= [	an^{-1}(x)]_{0}^{1} + \frac{1}{2} [\ln(1 + x^2)]_{0}^{1}$$= \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \ln 2$

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{{n + 1}}{{{n^2} + {1^2}}} + \frac{{n + 2}}{{{n^2} + {2^2}}} + \frac{{n + 3}}{{{n^2} + {3^2}}} + \dots + \frac{1}{n}} \right) = $

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$\lim _{n \rightarrow \infty} \left\{ \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2}+\ldots+\sqrt{2n-1}}{n^{3/2}} \right\}$ का मान है

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^2}}+\frac{1}{\sqrt{n^2-1}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n^2-(n-1)^2}}\right)=$

निम्नलिखित कथनों में से:
$(S1): \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^2}(2+4+6+\ldots+2n)=1$
$(S2): \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{16}}(1^{15}+2^{15}+3^{15}+\ldots+n^{15})=\frac{1}{16}$

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} [(n+1)(n+2) \cdots (2n)]^{\frac{1}{n}} = $

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