मान लीजिए f(x) = begin{cases} x, & x in mathb | vedclass

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Question

(A) $x = \frac{1}{2}$ पर $f(x)$ की सांतत्यता की जाँच करने के लिए,हम $x 	o \frac{1}{2}$ के लिए सीमा का मान ज्ञात करते हैं।$f(x)$ के $x = a$ पर सतत होन

Vedclass · Accepted Answer

सतत लेकिन अवकलनीय नहीं

Vedclass · Answer

(A) $x = \frac{1}{2}$ पर $f(x)$ की सांतत्यता की जाँच करने के लिए,हम $x 	o \frac{1}{2}$ के लिए सीमा का मान ज्ञात करते हैं।$f(x)$ के $x = a$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x 	o a} f(x) = f(a)$ होना चाहिए।यहाँ,$f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$ (क्योंकि $\frac{1}{2}$ एक परिमेय संख्या है)।परिमेय संख्याओं के किसी भी अनुक्रम $r_n 	o \frac{1}{2}$ के लिए,$f(r_n) = r_n 	o \frac{1}{2}$।अपरिमेय संख्याओं के किसी भी अनुक्रम $i_n 	o \frac{1}{2}$ के लिए,$f(i_n) = 1 - i_n 	o 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$।चूंकि सीमा का अस्तित्व है और यह $f(\frac{1}{2})$ के बराबर है,इसलिए $f(x)$ बिंदु $x = \frac{1}{2}$ पर सतत है।अब,अवकलनीयता की जाँच करें: $f'(1/2) = \lim_{h 	o 0} \frac{f(1/2 + h) - f(1/2)}{h}$।यदि $1/2 + h$ परिमेय है,तो $\frac{f(1/2+h) - f(1/2)}{h} = \frac{1/2+h - 1/2}{h} = 1$।यदि $1/2 + h$ अपरिमेय है,तो $\frac{f(1/2+h) - f(1/2)}{h} = \frac{1 - (1/2+h) - 1/2}{h} = \frac{-h}{h} = -1$।चूंकि सीमा का अस्तित्व नहीं है,इसलिए $f(x)$ बिंदु $x = \frac{1}{2}$ पर अवकलनीय नहीं है।

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} x, & x \in \mathbb{Q} \\ 1 - x, & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}$. तो $x = \frac{1}{2}$ पर $f(x)$ क्या है?

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