$(a)$ $5.20 \times 10^{6} \;m s^{-1}$ ની ઝડપ ધરાવતો એક મોનોએનર્જેટિક ઇલેક્ટ્રોન બીમ,બીમના વેગને લંબ $1.30 \times 10^{-4} \;T$ ના ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરે છે. જો ઇલેક્ટ્રોન માટે $e/m = 1.76 \times 10^{11} \;C \;kg^{-1}$ હોય,તો બીમ દ્વારા રચાતા વર્તુળની ત્રિજ્યા કેટલી હશે?
$(b)$ શું $(a)$ માં તમે વાપરેલું સૂત્ર $20 \;MeV$ ના ઇલેક્ટ્રોન બીમના પથની ત્રિજ્યા ગણવા માટે માન્ય છે? જો નહીં,તો તેમાં શું ફેરફાર કરવામાં આવે છે?

(N/A) આપેલ છે: ઇલેક્ટ્રોનની ઝડપ $v = 5.20 \times 10^{6} \;m s^{-1}$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 1.30 \times 10^{-4} \;T$,વિશિષ્ટ વીજભાર $e/m = 1.76 \times 10^{11} \;C \;kg^{-1}$.
ચુંબકીય બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $evB = \frac{mv^2}{r}$.
ત્રિજ્યા $r$ માટે સૂત્ર: $r = \frac{mv}{eB} = \frac{v}{(e/m)B}$.
કિંમતો મૂકતા: $r = \frac{5.20 \times 10^{6}}{(1.76 \times 10^{11}) \times (1.30 \times 10^{-4})} = \frac{5.20 \times 10^{6}}{2.288 \times 10^{7}} \approx 0.227 \;m = 22.7 \;cm$.
$(b)$ ના,આ સૂત્ર $20 \;MeV$ ના ઇલેક્ટ્રોન બીમ માટે માન્ય નથી. $20 \;MeV$ પર,ગતિઊર્જા ઇલેક્ટ્રોનની સ્થિર દળ ઊર્જા $(0.511 \;MeV)$ કરતા ઘણી વધારે છે,જેનો અર્થ છે કે ઇલેક્ટ્રોનની ઝડપ $v$ એ પ્રકાશની ઝડપ $c$ ની નજીક પહોંચે છે.
આ સાપેક્ષવાદના ક્ષેત્રમાં,દળ $m$ અચળ રહેતું નથી પરંતુ $m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m_0$ એ સ્થિર દળ છે.
ત્રિજ્યા માટેનું સુધારેલું સૂત્ર $r = \frac{mv}{eB} = \frac{m_0 v}{eB \sqrt{1 - v^2/c^2}}$ છે.