$(a)$ जैसे-जैसे हम वायुमंडल में ऊपर जाते हैं,दबाव कम होता जाता है। यदि हवा का घनत्व $\rho$ है,तो सूक्ष्म ऊँचाई $dh$ के लिए दबाव में परिवर्तन $dp$ क्या होगा?
$(b)$ यह मानते हुए कि दबाव $P$ घनत्व के समानुपाती है,$h$ ऊँचाई पर दबाव $P$ ज्ञात कीजिए यदि पृथ्वी की सतह पर दबाव $P_{0}$ है।
$(c)$ यदि $P_{0} = 1.03 \times 10^5 \text{ N/m}^2$,$\rho_0 = 1.29 \text{ kg/m}^3$,और $g = 9.8 \text{ m/s}^2$ है,तो किस ऊँचाई पर दबाव पृथ्वी की सतह के दबाव का $\frac{1}{10}$ हो जाएगा?
$(d)$ वायुमंडल का यह मॉडल अपेक्षाकृत कम ऊँचाई के लिए काम करता है। इस मॉडल को सीमित करने वाली अंतर्निहित धारणा की पहचान कीजिए।

(N/A) चूँकि हवा ऊपर के स्तरों में कम सघन होती है,इसलिए दबाव भी कम होता है।
$(a)$ $A$ अनुप्रस्थ काट और $dh$ ऊँचाई वाला हवा का एक क्षैतिज भाग लें। ऊपरी सतह पर दबाव $P$ और निचली सतह पर $P + dP$ है। यदि यह भाग संतुलन में है,तो शुद्ध ऊर्ध्व बल इसके भार द्वारा संतुलित होना चाहिए।
$(P + dP)A - PA = -mg$ (जहाँ द्रव्यमान = आयतन $\times$ घनत्व)
$(dP)A = -\rho(A dh)g$
$dp = -\rho g dh$ ... $(1)$
ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि ऊँचाई बढ़ने पर दबाव घटता है।
$(b)$ पृथ्वी की सतह पर हवा का घनत्व $\rho_0$ है। दिया गया है $P \propto \rho$,इसलिए $\frac{P}{P_0} = \frac{\rho}{\rho_0}$,यानी $\rho = \left(\frac{P}{P_0}\right)\rho_0$ ... $(2)$
समीकरण $(2)$ को $(1)$ में रखने पर:
$dP = -\left(\frac{P}{P_0}\right)\rho_0 g dh$
$\frac{dP}{P} = -\frac{\rho_0 g}{P_0} dh$
दोनों पक्षों का $0$ से $h$ तक समाकलन करने पर:
$\int_{P_0}^{P} \frac{dP}{P} = -\frac{\rho_0 g}{P_0} \int_{0}^{h} dh$
$\ln\left(\frac{P}{P_0}\right) = -\frac{\rho_0 g h}{P_0}$
$P = P_0 e^{-\frac{\rho_0 g h}{P_0}}$
$(c)$ दिया है $P = \frac{P_0}{10}$,इसलिए $\ln\left(\frac{1}{10}\right) = -\frac{\rho_0 g h}{P_0}$
$h = \frac{P_0 \ln(10)}{\rho_0 g} = \frac{1.03 \times 10^5 \times 2.303}{1.29 \times 9.8} \approx 18750 \text{ m} \approx 18.75 \text{ km}$.
$(d)$ इस मॉडल की धारणा यह है कि हवा का घनत्व दबाव के समानुपाती है,जो एक समतापीय वायुमंडल (स्थिर तापमान) का संकेत देता है,जबकि वास्तविक वायुमंडल का तापमान ऊँचाई के साथ बदलता रहता है।