$AD$ एक समद्विबाहु त्रिभुज $ABC$ का शीर्षलंब है जिसमें $AB = AC$ है। दर्शाइए कि:
$(i)$ $AD$,$BC$ को समद्विभाजित करता है।
$(ii)$ $AD$,$\angle A$ को समद्विभाजित करता है।
$(i)$ $AD$,$BC$ को समद्विभाजित करता है।
$(ii)$ $AD$,$\angle A$ को समद्विभाजित करता है।
(N/A) $(i)$ $\Delta ABD$ और $\Delta ACD$ में,हमारे पास है:
$AB = AC$ [दिया है]
$\angle ADB = \angle ADC = 90^\circ$ [चूंकि $AD$ एक शीर्षलंब है]
$AD = AD$ [उभयनिष्ठ भुजा]
अतः,$RHS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा,$\Delta ABD \cong \Delta ACD$ है।
चूंकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं,इसलिए उनके संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$।
अतः,$BD = CD$,जिसका अर्थ है कि $AD$,$BC$ को समद्विभाजित करता है।
$(ii)$ चूंकि $\Delta ABD \cong \Delta ACD$ है,इसलिए उनके संगत कोण बराबर होते हैं $(CPCT)$।
अतः,$\angle BAD = \angle CAD$,जिसका अर्थ है कि $AD$,$\angle A$ को समद्विभाजित करता है।
$AB = AC$ [दिया है]
$\angle ADB = \angle ADC = 90^\circ$ [चूंकि $AD$ एक शीर्षलंब है]
$AD = AD$ [उभयनिष्ठ भुजा]
अतः,$RHS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा,$\Delta ABD \cong \Delta ACD$ है।
चूंकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं,इसलिए उनके संगत भाग बराबर होते हैं $(CPCT)$।
अतः,$BD = CD$,जिसका अर्थ है कि $AD$,$BC$ को समद्विभाजित करता है।
$(ii)$ चूंकि $\Delta ABD \cong \Delta ACD$ है,इसलिए उनके संगत कोण बराबर होते हैं $(CPCT)$।
अतः,$\angle BAD = \angle CAD$,जिसका अर्थ है कि $AD$,$\angle A$ को समद्विभाजित करता है।
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$(i)$ $\Delta APB \cong \Delta AQB$
$(ii)$ $BP = BQ$ अर्थात $B$ कोण $\angle A$ की भुजाओं से समदूरस्थ है।
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$(i)$ $\Delta ABD \cong \Delta ACD$
$(ii)$ $\Delta ABP \cong \Delta ACP$
$(iii)$ $AP$,$\angle A$ और $\angle D$ दोनों को समद्विभाजित करता है।
$(iv)$ $AP$,$BC$ का लंब समद्विभाजक है।
$(i)$ $\Delta ABD \cong \Delta ACD$
$(ii)$ $\Delta ABP \cong \Delta ACP$
$(iii)$ $AP$,$\angle A$ और $\angle D$ दोनों को समद्विभाजित करता है।
$(iv)$ $AP$,$BC$ का लंब समद्विभाजक है।
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