$D, E$ અને $F$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ $ABC$ ની બાજુઓ $BC, CA$ અને $AB$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. સાબિત કરો કે $\triangle DEF$ પણ એક સમબાજુ ત્રિકોણ છે.

(N/A) આપેલ છે: $\triangle ABC$ એક સમબાજુ ત્રિકોણ છે. $D, E$ અને $F$ એ $\triangle ABC$ ની બાજુઓ $BC, CA$ અને $AB$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $\triangle DEF$ એક સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
સાબિતી: મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,ત્રિકોણની બે બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ ત્રીજી બાજુને સમાંતર હોય છે અને તેની લંબાઈ ત્રીજી બાજુ કરતા અડધી હોય છે.
$1$. $EF$ એ બાજુઓ $AB$ અને $AC$ ના મધ્યબિંદુઓને જોડે છે. તેથી,$EF = \frac{1}{2} BC$ $(1)$.
$2$. $DE$ એ બાજુઓ $BC$ અને $AC$ ના મધ્યબિંદુઓને જોડે છે. તેથી,$DE = \frac{1}{2} AB$ $(2)$.
$3$. $DF$ એ બાજુઓ $BC$ અને $AB$ ના મધ્યબિંદુઓને જોડે છે. તેથી,$DF = \frac{1}{2} AC$ $(3)$.
જેহেতু $\triangle ABC$ સમબાજુ ત્રિકોણ છે,તેથી $AB = BC = CA$ $(4)$.
$(4)$ ની કિંમત $(1), (2)$ અને $(3)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$EF = \frac{1}{2} BC$,$DE = \frac{1}{2} BC$,અને $DF = \frac{1}{2} BC$.
આમ,$DE = EF = DF$.
તેથી,$\triangle DEF$ એક સમબાજુ ત્રિકોણ છે. આમ સાબિત થાય છે.