$(a)$ एक व्यक्ति $100 \, N$ का ऊर्ध्वाधर बल लगाकर पानी की बाल्टी पकड़े हुए है। वह पहले $5 \, m$ की क्षैतिज दूरी तय करता है और फिर सीढ़ियों से $10 \, m$ की ऊर्ध्वाधर दूरी ऊपर चढ़ता है। बाल्टी पर व्यक्ति द्वारा किए गए कुल कार्य की गणना कीजिए।
$(b)$ किसी पिंड की गतिज ऊर्जा और संवेग के बीच संबंध स्थापित कीजिए।

(A) दिया गया है: बल $F = 100 \, N$,क्षैतिज विस्थापन $S_H = 5 \, m$,ऊर्ध्वाधर विस्थापन $S_V = 10 \, m$।
मान लीजिए कि $W_1$ क्षैतिज गति के दौरान किया गया कार्य है और $W_2$ ऊर्ध्वाधर गति के दौरान किया गया कार्य है।
क्षैतिज गति के लिए,बल ऊर्ध्वाधर है और विस्थापन क्षैतिज है,इसलिए कोण $\theta = 90^{\circ}$ है।
$W_1 = F \cdot S_H \cdot \cos(90^{\circ}) = 100 \times 5 \times 0 = 0 \, J$।
ऊर्ध्वाधर गति के लिए,बल ऊर्ध्वाधर है और विस्थापन भी ऊर्ध्वाधर है,इसलिए कोण $\theta = 0^{\circ}$ है।
$W_2 = F \cdot S_V \cdot \cos(0^{\circ}) = 100 \times 10 \times 1 = 1000 \, J$।
कुल कार्य $W = W_1 + W_2 = 0 + 1000 = 1000 \, J$।
$(b)$ गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ और संवेग $p = mv$ होता है।
$p = mv$ से,हमें $v = \frac{p}{m}$ प्राप्त होता है।
गतिज ऊर्जा के सूत्र में $v$ का मान रखने पर:
$K = \frac{1}{2}m \left(\frac{p}{m}\right)^2 = \frac{1}{2}m \left(\frac{p^2}{m^2}\right) = \frac{p^2}{2m}$।
अतः,संबंध $K = \frac{p^2}{2m}$ है।