$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1-\cot x}{\operatorname{cosec} x+\cos x} d x=$

मान लीजिए $N$ प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है। $n \in N$ के लिए,$I_n = \int_0^\pi \frac{x \sin^{2n}(x)}{\sin^{2n}(x) + \cos^{2n}(x)} dx$ को परिभाषित करें। तो,$m, n \in N$ के लिए,निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

यदि $I_{1} = \int_{0}^{1} (1 - x^{50})^{100} dx$ और $I_{2} = \int_{0}^{1} (1 - x^{50})^{101} dx$ इस प्रकार है कि $I_{2} = \alpha I_{1}$,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए:

$\int_{0}^{20 \pi}(|\sin x|+|\cos x|)^{2} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $M = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos x}{x+2} dx$ और $N = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x \cos x}{(x+1)^{2}} dx$ है, तो $M-N$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\alpha > 0$ के लिए $\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos^2 x}{1+\alpha^x} \, dx$ का मान है