$A$ અને $B$ એ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે જ્યાં $P(A)=\frac{1}{4}$ અને $P(A \cup B)=2 P(B)-P(A)$ હોય,તો $P(B)$ શોધો.

જો $A$ અને $B$ એક યાદચ્છિક પ્રયોગની નિરપેક્ષ ઘટનાઓ હોય કે જેથી $P(A \cap B)=\frac{1}{6}$ અને $P(\bar{A} \cap \bar{B})=\frac{1}{3}$ થાય, તો $P(A)$ ની કિંમત શોધો. (અહીં, $\bar{E}$ એ ઘટના $E$ ની પૂરક ઘટના છે)

ફૂટબોલ ટીમો $T_1$ અને $T_2$ એકબીજા સામે બે મેચ રમે છે. બંને મેચના પરિણામો સ્વતંત્ર છે. $T_1$ ની $T_2$ સામે જીતવાની,ડ્રો કરવાની અને હારવાની સંભાવના અનુક્રમે $\frac{1}{2}$,$\frac{1}{6}$ અને $\frac{1}{3}$ છે. દરેક ટીમને જીત માટે $3$ પોઈન્ટ,ડ્રો માટે $1$ પોઈન્ટ અને હાર માટે $0$ પોઈન્ટ મળે છે. ધારો કે $X$ અને $Y$ એ બે મેચ પછી અનુક્રમે $T_1$ અને $T_2$ ટીમો દ્વારા મેળવેલા કુલ પોઈન્ટ દર્શાવે છે.
$(1)$ $P(X>Y)$ શું છે?
$(A)$ $\frac{1}{4}$ $(B)$ $\frac{5}{12}$ $(C)$ $\frac{1}{2}$ $(D)$ $\frac{7}{12}$
$(2)$ $P(X=Y)$ શું છે?
$(A)$ $\frac{11}{36}$ $(B)$ $\frac{1}{3}$ $(C)$ $\frac{13}{36}$ $(D)$ $\frac{1}{2}$

એક સિક્કાને $8$ વખત ઉછાળવામાં આવે છે. જો પ્રથમ છ ઉછાળમાં બરાબર $4$ છાપ અને છેલ્લા પાંચ ઉછાળમાં બરાબર $3$ છાપ મળે તેની સંભાવના $p$ હોય, તો $96p$ ની કિંમત ———— થાય.

$A$ અને $B$ દરેક એક સાથે $50$ વખત સિક્કો ઉછાળે છે. બંનેને એક જ ઉછાળમાં છાપ (tail) ન મળે તેની સંભાવના કેટલી છે?

જો $a$ અને $b$ ને ગણ $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ માંથી પુનરાવર્તન સાથે યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે,તો $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {\frac{{{a^x} + {b^x}}}{2}} \right)^{\frac{2}{x}}}=6$ હોય તેની સંભાવના કેટલી છે?