frac{1}{1 cdot 2 cdot 3} + frac{1}{3 cdot 4 c | vedclass

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Question

(B) श्रेणी का सामान्य पद $T_n = \frac{1}{(2n - 1)(2n)(2n + 1)}$ है।आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,$T_n = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2n - 1} - \frac{

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$\log_{e} 2 - \frac{1}{2}$

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(B) श्रेणी का सामान्य पद $T_n = \frac{1}{(2n - 1)(2n)(2n + 1)}$ है।आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,$T_n = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2n - 1} - \frac{2}{2n} + \frac{1}{2n + 1} \right] = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n} \right) - \left( \frac{1}{2n} - \frac{1}{2n + 1} \right) \right]$।$n=1$ से $\infty$ तक योग करने पर:$S = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n} \right) - \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{2n} - \frac{1}{2n + 1} \right)$।हम लघुगणकीय श्रेणी विस्तार जानते हैं $\log_{e} 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n} \right)$।साथ ही,$\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{2n} - \frac{1}{2n + 1} \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \dots = 1 - \log_{e} 2$।इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:$S = \frac{1}{2} (\log_{e} 2) - \frac{1}{2} (1 - \log_{e} 2) = \frac{1}{2} \log_{e} 2 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \log_{e} 2 = \log_{e} 2 - \frac{1}{2}$।

$\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 6 \cdot 7} + \dots \infty = $

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$\frac{1}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2^2} + \frac{1}{3 \cdot 2^3} - \frac{1}{4 \cdot 2^4} + \ldots$ का मान ज्ञात कीजिए।

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