int_0^1 frac{8 log (1+x)}{1+x^2} ,d x= | vedclass

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Question

(B) $	ext{माना } I = \int_0^1 \frac{8 \log (1+x)}{1+x^2} \,dx 	ext{ है।} x = 	an 	heta 	ext{ प्रतिस्थापित करने पर } dx = \sec^2 	heta \,d	heta

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$\pi \log 2$

Vedclass · Answer

(B) $	ext{माना } I = \int_0^1 \frac{8 \log (1+x)}{1+x^2} \,dx 	ext{ है।} x = 	an 	heta 	ext{ प्रतिस्थापित करने पर } dx = \sec^2 	heta \,d	heta 	ext{ प्राप्त होता है।} 	ext{जब } x = 0, 	ext{तब } 	heta = 0; 	ext{जब } x = 1, 	ext{तब } 	heta = \frac{\pi}{4}। I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{8 \log (1+	an 	heta)}{1+	an^2 	heta} \cdot \sec^2 	heta \,d	heta = \int_0^{\frac{\pi}{4}} 8 \log (1+	an 	heta) \,d	heta \quad \dots(i) 	ext{गुणधर्म } \int_0^a f(	heta) \,d	heta = \int_0^a f(a-	heta) \,d	heta 	ext{ का उपयोग करने पर:} I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} 8 \log \left(1 + 	an\left(\frac{\pi}{4} - 	hetaight)ight) \,d	heta 	ext{चूँकि } 	an\left(\frac{\pi}{4} - 	hetaight) = \frac{1-	an 	heta}{1+	an 	heta}, 	ext{अतः:} I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} 8 \log \left(1 + \frac{1-	an 	heta}{1+	an 	heta}ight) \,d	heta = \int_0^{\frac{\pi}{4}} 8 \log \left(\frac{2}{1+	an 	heta}ight) \,d	heta \quad \dots(ii) (i) 	ext{ और } (ii) 	ext{ को जोड़ने पर:} 2I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} 8 \left[ \log(1+	an 	heta) + \log\left(\frac{2}{1+	an 	heta}ight) ight] \,d	heta 2I = 8 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \left( (1+	an 	heta) \cdot \frac{2}{1+	an 	heta} ight) \,d	heta 2I = 8 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log 2 \,d	heta = 8 \log 2 [	heta]_0^{\frac{\pi}{4}} = 8 \log 2 \cdot \frac{\pi}{4} = 2\pi \log 2। 	ext{अतः } I = \pi \log 2।$

$\int_0^1 \frac{8 \log (1+x)}{1+x^2} \,d x=$

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