$AB = 0$,यदि और केवल यदि

यदि $A = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 3 & -4 \end{bmatrix}$ और $kA = \begin{bmatrix} 0 & 3a \\ 2b & 24 \end{bmatrix}$ है,तो $k, a, b$ के मान क्रमशः क्या हैं?

मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ एक वास्तविक आव्यूह है जिसके अवयव शून्य नहीं हैं,$ad - bc = 0$ और $A^2 = A$ है। तो,$a + d$ का मान क्या होगा?

तीन कारखानों $I, II$ और $III$ में पुरुष और महिला श्रमिकों की संख्या के संबंध में निम्नलिखित जानकारी पर विचार करें।

कारखाना	पुरुष और महिला श्रमिक
$I$	$30$ पुरुष,$25$ महिला
$II$	$25$ पुरुष,$31$ महिला
$III$	$27$ पुरुष,$26$ महिला

उपरोक्त जानकारी को $3 \times 2$ आव्यूह के रूप में निरूपित कीजिए। तीसरी पंक्ति और दूसरे स्तंभ में स्थित प्रविष्टि क्या दर्शाती है?

यदि आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 3k + \frac{1}{3} \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ है,तो $\prod_{k=1}^{36} \begin{bmatrix} 1 & 3k + \frac{1}{3} \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ का मान क्या होगा :-

यदि $A$ और $B$ समान कोटि के वर्ग आव्यूह हैं,इस प्रकार कि $AB = BA$,तो गणितीय आगमन द्वारा सिद्ध कीजिए कि $AB^{n} = B^{n}A$। इसके अतिरिक्त,सिद्ध कीजिए कि सभी $n \in N$ के लिए $(AB)^{n} = A^{n}B^{n}$ है।