lim _{n} {rightarrow infty}left(frac{n}{n^2+1 | vedclass

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Question

(C) दी गई अभिव्यक्ति $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{2 n} \frac{n}{n^2+r^2}$ है।अंश और हर को $n^2$ से विभाजित करने पर,हमें $\lim _{n \righta

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$	an ^{-1} 2$

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(C) दी गई अभिव्यक्ति $\lim _{n ightarrow \infty} \sum_{r=1}^{2 n} \frac{n}{n^2+r^2}$ है।अंश और हर को $n^2$ से विभाजित करने पर,हमें $\lim _{n ightarrow \infty} \sum_{r=1}^{2 n} \frac{1}{n} \left(\frac{1}{1+(r/n)^2}ight)$ प्राप्त होता है।निश्चित समाकल की परिभाषा के अनुसार,$\lim _{n ightarrow \infty} \sum_{r=1}^{kn} \frac{1}{n} f(r/n) = \int_0^k f(x) dx$ होता है।यहाँ,$f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ और $k = 2$ है।अतः,समाकल $\int_0^2 \frac{1}{1+x^2} dx$ होगा।समाकल का मान ज्ञात करने पर,$[	an ^{-1}(x)]_0^2 = 	an ^{-1}(2) - 	an ^{-1}(0) = 	an ^{-1}(2)$ प्राप्त होता है।

$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty}\left(\frac{n}{n^2+1^2}+\frac{n}{n^2+2^2}+\frac{n}{n^2+3^2}+\ldots+\frac{n}{n^2+(2n)^2}\right)=$

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योगफल की सीमा के रूप में $\int_{0}^{1} e^{2-3 x} d x$ का मूल्यांकन कीजिए।

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{n^3}\right)^{\frac{1}{n^3}}\left(1+\frac{8}{n^3}\right)^{\frac{4}{n^3}}\left(1+\frac{27}{n^3}\right)^{\frac{9}{n^3}} \ldots \left(1+\frac{n^3}{n^3}\right)^{\frac{n^2}{n^3}}\right]=$

$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{1}^{99}}+{{2}^{99}}+{{3}^{99}}+......{{n}^{99}}}{{{n}^{100}}}=$

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{\sqrt{n^2-1^2}}{n^2}+\frac{\sqrt{n^2-2^2}}{n^2}+\frac{\sqrt{n^2-3^2}}{n^2}+\ldots+\frac{\sqrt{n^2-n^2}}{n^2}\right]=$

$\lim _{n \rightarrow \infty} \left( \frac{\sqrt{1} + 2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{3} + \ldots + n \sqrt{n}}{n^{5/2}} \right) = $

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