int frac{1}{sqrt{3-6 x-9 x^{2}}} d x का मान | vedclass

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Question

(C) समाकलन $ I = \int \frac{1}{\sqrt{3-6 x-9 x^{2}}} d x $ का मूल्यांकन करने के लिए,हम वर्गमूल के अंदर के द्विघात व्यंजक को पूर्ण वर्ग बनाते हैं। $ 3-

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$ \frac{1}{3} \sin ^{-1}\left(\frac{3 x+1}{2}\right)+C $

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(C) समाकलन $ I = \int \frac{1}{\sqrt{3-6 x-9 x^{2}}} d x $ का मूल्यांकन करने के लिए,हम वर्गमूल के अंदर के द्विघात व्यंजक को पूर्ण वर्ग बनाते हैं। $ 3-6 x-9 x^{2} = 3 - (9 x^{2} + 6 x) = 3 - ((3 x)^{2} + 2(3 x)(1) + 1^{2} - 1) = 3 - ((3 x+1)^{2} - 1) = 4 - (3 x+1)^{2} $. अब,समाकलन $ I = \int \frac{1}{\sqrt{4-(3 x+1)^{2}}} d x $ बन जाता है। मान लीजिए $ u = 3x+1 $,तो $ du = 3 dx $,जिसका अर्थ है $ dx = \frac{du}{3} $. इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $ I = \int \frac{1}{\sqrt{2^{2}-u^{2}}} \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{2^{2}-u^{2}}} du $ प्राप्त होता है। मानक सूत्र $ \int \frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} dx = \sin^{-1}(\frac{x}{a}) + C $ का उपयोग करते हुए,हमें $ I = \frac{1}{3} \sin^{-1}(\frac{u}{2}) + C $ प्राप्त होता है। $ u = 3x+1 $ वापस रखने पर,हमें $ I = \frac{1}{3} \sin^{-1}(\frac{3x+1}{2}) + C $ प्राप्त होता है।

$ \int \frac{1}{\sqrt{3-6 x-9 x^{2}}} d x $ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\int \frac{x+1}{x(1+x e^x)} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\int \cos ^k(x) \sin (x) d x = \frac{-1}{4} \cos ^4(x) + C$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित फलन का $x$ के सापेक्ष समाकलन कीजिए:
$2 x \sin \left(x^{2}+1\right)$

$\int \frac{x}{\left(1-x^2\right) \sqrt{2-x^2}} d x=$

$\int {\frac{{\sin \theta + \cos \theta }}{{\sqrt {\sin 2\theta } }}} d\theta = $

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