lim _{n rightarrow infty}left{frac{1}{n+m}+fr | vedclass

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Question

(C) दी गई अभिव्यक्ति $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+km}$ है।हम इसे $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac

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$\frac{\log _e(1+m)}{m}$

Vedclass · Answer

(C) दी गई अभिव्यक्ति $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+km}$ है।हम इसे $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{1+m(\frac{k}{n})}$ के रूप में लिख सकते हैं।निश्चित समाकल की परिभाषा के अनुसार,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f(\frac{k}{n}) = \int_0^1 f(x) dx$ होता है।यहाँ,$f(x) = \frac{1}{1+mx}$ है।अतः,समाकल $\int_0^1 \frac{1}{1+mx} dx$ हो जाता है।समाकल का मान: $\frac{1}{m} [\log _e(1+mx)]_0^1 = \frac{1}{m} (\log _e(1+m) - \log _e(1)) = \frac{\log _e(1+m)}{m}$.

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left\{\frac{1}{n+m}+\frac{1}{n+2 m}+\frac{1}{n+3 m}+\ldots+\frac{1}{n+n m}\right\}=$

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$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{1}+\sqrt{2}+\ldots+\sqrt{n-1}}{n \sqrt{n}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^2}}+\frac{1}{\sqrt{n^2-1}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n^2-(n-1)^2}}\right)=$

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{n^{3 / 2}}{n^{5 / 2}}-\frac{n^{1 / 2}}{n^{3 / 2}}+\frac{n^{3 / 2}}{(n+2)^{5 / 2}}-\frac{n^{1 / 2}}{(n+3)^{3 / 2}}+\ldots+\frac{n^{3 / 2}}{(n+2(n-1))^{5 / 2}}-\frac{n^{1 / 2}}{(n+3(n-1))^{3 / 2}}\right]=$

$\mathop {Limit}\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n} \left[ 1 + \sqrt {\frac{n}{n + 1}} + \sqrt {\frac{n}{n + 2}} + \sqrt {\frac{n}{n + 3}} + \dots + \sqrt {\frac{n}{n + 3(n - 1)}} \right]$ का मान किसके बराबर है?

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