int_{-1}^{3/2} |x sin pi x| , dx = | vedclass

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Question

(B) हमें $I = \int_{-1}^{3/2} |x \sin \pi x| \, dx$ का मान ज्ञात करना है। चूंकि $x \in [-1, 0]$ और $x \in [0, 1]$ के लिए $x \sin \pi x \ge 0$ है,और $x

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{3}{\pi} + \frac{1}{\pi^2}$

Vedclass · Answer

(B) हमें $I = \int_{-1}^{3/2} |x \sin \pi x| \, dx$ का मान ज्ञात करना है। चूंकि $x \in [-1, 0]$ और $x \in [0, 1]$ के लिए $x \sin \pi x \ge 0$ है,और $x \in [1, 3/2]$ के लिए $x \sin \pi x \le 0$ है,इसलिए हम समाकलन को विभाजित करते हैं: $I = \int_{-1}^{1} x \sin \pi x \, dx - \int_{1}^{3/2} x \sin \pi x \, dx$. खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर,$\int x \sin \pi x \, dx = -\frac{x \cos \pi x}{\pi} + \frac{\sin \pi x}{\pi^2}$. प्रथम भाग: $\int_{-1}^{1} x \sin \pi x \, dx = [-\frac{x \cos \pi x}{\pi} + \frac{\sin \pi x}{\pi^2}]_{-1}^{1} = \frac{1}{\pi} - (-\frac{1}{\pi}) = \frac{2}{\pi}$. द्वितीय भाग: $\int_{1}^{3/2} x \sin \pi x \, dx = [-\frac{x \cos \pi x}{\pi} + \frac{\sin \pi x}{\pi^2}]_{1}^{3/2} = -\frac{1}{\pi^2} - \frac{1}{\pi}$. अतः,$I = \frac{2}{\pi} - (-\frac{1}{\pi^2} - \frac{1}{\pi}) = \frac{3}{\pi} + \frac{1}{\pi^2}$.

$\int_{-1}^{3/2} |x \sin \pi x| \, dx =$

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