$\int_9^x \frac{f(y)}{y^2} \, dy = 2 \sqrt{x} - 6 \implies f(x) = ?$

ધારો કે $f : R \rightarrow R$ એક સતત એકી વિધેય છે,જે ફક્ત એક જ બિંદુએ શૂન્ય થાય છે અને $f(1) = \frac{1}{2}$ છે. ધારો કે $F(x) = \int_{-1}^x f(t) dt$ બધા $x \in [-1, 2]$ માટે અને $G(x) = \int_{-1}^x t|f(f(t))| dt$ બધા $x \in [-1, 2]$ માટે છે. જો $\lim_{x \rightarrow 1} \frac{F(x)}{G(x)} = \frac{1}{14}$ હોય,તો $f\left(\frac{1}{2}\right)$ ની કિંમત શોધો.

$\int \limits_{0}^{\pi}|\cos x|^{3} dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

ધારો કે $f:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$ અને $F(x) = \int_0^{x^2} f(t) dt$. જો $F(x) = x^2(1 + x)$ હોય,તો $f(4)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે રેખા $45 x+5 y+3=0$ નો ઢાળ $27 r_1+\frac{9 r_2}{2}$ છે,જ્યાં $r_1, r_2 \in R$. તો $\lim_{x \rightarrow 3} \left( \int_3^x \frac{8 t^2}{\frac{3 r_2 x}{2}-r_2 x^2-r_1 x^3-3 x} dt \right)$ ની કિંમત ................... છે.

ધારો કે કોઈ વિધેય $y=f(x)$ માટે,$\int_0^x t f(t) d t=x^2 f(x)$,$x > 0$ અને $f(2)=3$ છે. તો $f(6)$ ની કિંમત શોધો: