एक सिक्के को $2020$ बार उछाला जाता है। $1947$ वें उछाल पर चित (head) आने की प्रायिकता क्या है?

$A$ और $B$ बारी-बारी से पासे की एक जोड़ी फेंकते हैं। $A$ जीतता है यदि वह $B$ के $8$ के योग से पहले $5$ का योग प्राप्त करता है,और $B$ जीतता है यदि वह $A$ के $5$ के योग से पहले $8$ का योग प्राप्त करता है। यदि $A$ पहली बार फेंकता है,तो $A$ के जीतने की प्रायिकता क्या है?

एक सिक्के को बार-बार उछालने के प्रयोग पर विचार करें जब तक कि दो लगातार उछालों के परिणाम समान न हों। यदि एक यादृच्छिक उछाल में चित (head) आने की प्रायिकता $\frac{1}{3}$ है,तो इस बात की प्रायिकता क्या है कि प्रयोग चित पर समाप्त हो?

$\left\{1, 2, 2, 3, 3, 3\right\}$ अंकों वाले एक पासे को तीन बार फेंका जाता है। पासे के फलकों पर आने वाली संख्याओं का योग $6$ होने की प्रायिकता क्या है?

मान लीजिए $B_{i} (i=1, 2, 3)$ एक प्रतिदर्श समष्टि में तीन स्वतंत्र घटनाएँ हैं। केवल $B_{1}$ के घटित होने की प्रायिकता $\alpha$ है,केवल $B_{2}$ के घटित होने की प्रायिकता $\beta$ है और केवल $B_{3}$ के घटित होने की प्रायिकता $\gamma$ है। मान लीजिए $p$ वह प्रायिकता है कि कोई भी घटना $B_{i}$ घटित नहीं होती है और ये $4$ प्रायिकताएँ समीकरणों $(\alpha - 2\beta)p = \alpha\beta$ और $(\beta - 3\gamma)p = 2\beta\gamma$ को संतुष्ट करती हैं (सभी प्रायिकताएँ अंतराल $(0, 1)$ में स्थित मानी गई हैं)। तो $\frac{P(B_{1})}{P(B_{3})}$ का मान .......... है।

$E_1$ और $E_2$ एक यादृच्छिक प्रयोग की दो स्वतंत्र घटनाएँ हैं, जहाँ $P(E_1) = \frac{1}{2}$ और $P(E_1 \cup E_2) = \frac{2}{3}$ है। List-$I$ की वस्तुओं का List-$II$ के साथ मिलान करें।

List-$I$	List-$II$
$A. P(E_2) =$	$I. 2/3$
$B. P(E_1 | E_2) =$	$II. 5/6$
$C. P(\bar{E}_2 | E_1) =$	$III. 1/3$
$D. P(\bar{E}_1 \cup \bar{E}_2) =$	$IV. 1/2$