$[a, b, a \times b]$ का मान क्या है?

अंतरिक्ष में चार बिंदुओं $A(1, -2, -1)$, $B(4, 0, -3)$, $C(1, 2, -1)$ और $D(2, -4, -5)$ पर विचार करें। यदि $\vec{b} = \vec{AB}$, $\vec{c} = \vec{AC}$ और $\vec{d} = \vec{AD}$ है, तो $\frac{[\vec{b} \times \vec{c}, \vec{c} \times \vec{d}, \vec{d} \times \vec{b}]}{[\vec{b}+\vec{c}, \vec{c}+\vec{d}, \vec{d}+\vec{b}]}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$, $\vec{b} = \hat{i} + 3\hat{k}$ और $\vec{c}$ एक इकाई सदिश है, तो अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$ का अधिकतम मान है

मान लीजिए $S$ उन सभी $(\lambda, \mu)$ का समुच्चय है जिनके लिए सदिश $\lambda \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,$\hat{i} + 2\hat{j} + \mu \hat{k}$ और $3\hat{i} - 4\hat{j} + 5\hat{k}$,जहाँ $\lambda - \mu = 5$,समतलीय हैं,तो $\sum_{(\lambda, \mu) \in S} 80(\lambda^2 + \mu^2)$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए कि तीन सदिश $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ इस प्रकार हैं कि $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{c}$,$\vec{b} \times \vec{c} = \vec{a}$ और $|\vec{a}| = 2$ है। तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य नहीं है?

यदि सदिश $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$, $\vec{b}=\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$ और $\vec{c}=x\hat{i}+(x-2)\hat{j}-\hat{k}$ समतलीय हैं, तो $x=$