int sin ^{-1} sqrt{frac{x}{a+x}} d x= | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int \sin ^{-1} \sqrt{\frac{x}{a+x}} d x$. $x = a 	an^2 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर, $dx = 2a 	an 	heta \sec^2 	heta d	heta$ प्राप

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$	an ^{-1}\left(\sqrt{\frac{x}{a}}ight)(a+x)-\sqrt{a x}+c$

Vedclass · Answer

(D) माना $I = \int \sin ^{-1} \sqrt{\frac{x}{a+x}} d x$. $x = a 	an^2 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर, $dx = 2a 	an 	heta \sec^2 	heta d	heta$ प्राप्त होता है। तब $\sqrt{\frac{x}{a+x}} = \sqrt{\frac{a 	an^2 	heta}{a(1+	an^2 	heta)}} = \sqrt{\sin^2 	heta} = \sin 	heta$. अतः, $I = \int 	heta \cdot 2a 	an 	heta \sec^2 	heta d	heta = 2a \int 	heta 	an 	heta \sec^2 	heta d	heta$. खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए, $u = 	heta$ और $dv = 	an 	heta \sec^2 	heta d	heta$ लेने पर, $du = d	heta$ और $v = \frac{1}{2} 	an^2 	heta$ प्राप्त होता है। $I = 2a \left[ \frac{1}{2} 	heta 	an^2 	heta - \int \frac{1}{2} 	an^2 	heta d	heta ight] = a 	heta 	an^2 	heta - a \int (\sec^2 	heta - 1) d	heta$. $I = a 	heta 	an^2 	heta - a (	an 	heta - 	heta) + c = a 	heta (	an^2 	heta + 1) - a 	an 	heta + c$. चूंकि $	an^2 	heta = \frac{x}{a}$, इसलिए $	heta = 	an^{-1} \sqrt{\frac{x}{a}}$ है। $I = a 	an^{-1} \sqrt{\frac{x}{a}} (\frac{x}{a} + 1) - a \sqrt{\frac{x}{a}} + c = (x+a) 	an^{-1} \sqrt{\frac{x}{a}} - \sqrt{ax} + c$.

$\int \sin ^{-1} \sqrt{\frac{x}{a+x}} d x=$

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