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Question

(A) दी गई अभिव्यक्ति $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\pi}{2 n}\left[\sin \frac{\pi}{2 n}+\sin \frac{2 \pi}{2 n}+\ldots+\sin \frac{n \pi}{2 n}\righ

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(A) दी गई अभिव्यक्ति $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\pi}{2 n}\left[\sin \frac{\pi}{2 n}+\sin \frac{2 \pi}{2 n}+\ldots+\sin \frac{n \pi}{2 n}\right]$ है।इसे $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\pi}{2 n} \sum_{r=1}^n \sin \left(\frac{r \pi}{2 n}\right)$ के रूप में लिखा जा सकता है।निश्चित समाकल की परिभाषा का उपयोग करते हुए, $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n f\left(\frac{r}{n}\right) = \int_0^1 f(x) dx$.यहाँ, $x = \frac{r\pi}{2n}$ रखने पर, जहाँ $dx = \frac{\pi}{2n}$, अभिव्यक्ति $\int_0^{\pi/2} \sin(x) dx$ बन जाती है।समाकलन की सीमाएँ $r=0$ के लिए $x = 0$ और $r=n$ के लिए $x = \frac{\pi}{2}$ हैं।अतः, समाकल $\int_0^{\pi/2} \sin(x) dx$ हो जाता है।समाकलन का मान: $[-\cos(x)]_0^{\pi/2} = -(\cos(\frac{\pi}{2}) - \cos(0)) = -(0 - 1) = 1$.

$\operatorname{Lim}_{n \rightarrow \infty} \frac{\pi}{2 n}\left[\sin \frac{\pi}{2 n}+\sin \frac{2 \pi}{2 n}+\ldots+\sin \frac{\pi}{2}\right]=$

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$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3}{n} \left\{ 4 + \left( 2 + \frac{1}{n} \right)^2 + \left( 2 + \frac{2}{n} \right)^2 + \dots + \left( 3 - \frac{1}{n} \right)^2 \right\}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1} + \sqrt{2} + \dots + \sqrt{n}}{n^{\frac{3}{2}}} =$

यदि $a = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{2n}{n^2+k^2}$ और $f(x) = \sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}$,$x \in (0, 1)$,तो:

योगफल की सीमा के रूप में $\int_{0}^{2} e^{x} d x$ का मूल्यांकन कीजिए।

सीमा का मान ज्ञात कीजिए: $\mathop {\lim}\limits_{n \to \infty } \frac{\pi }{2n} \left( 1 + \cos \frac{\pi }{2n} + \cos \frac{2\pi }{2n} + \dots + \cos \frac{(n - 1)\pi }{2n} \right)$

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