int_0^{frac{pi}{2}} sin^6 x cos^4 x , dx = | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^6 x \cos^4 x \, dx$ है। वालिस के सूत्र का उपयोग करते हुए, $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^m x \cos^n x \, dx =

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$\frac{3\pi}{512}$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^6 x \cos^4 x \, dx$ है। वालिस के सूत्र का उपयोग करते हुए, $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^m x \cos^n x \, dx = \frac{(m-1)(m-3)\dots(1) 	imes (n-1)(n-3)\dots(1)}{(m+n)(m+n-2)\dots(2)} 	imes \frac{\pi}{2}$ (यदि $m$ और $n$ दोनों सम संख्याएँ हैं)। यहाँ, $m = 6$ और $n = 4$ है। $I = \frac{(6-1)(6-3)(6-5) 	imes (4-1)(4-3)}{(6+4)(6+4-2)(6+4-4)(6+4-6)(6+4-8)} 	imes \frac{\pi}{2}$ $I = \frac{5 	imes 3 	imes 1 	imes 3 	imes 1}{10 	imes 8 	imes 6 	imes 4 	imes 2} 	imes \frac{\pi}{2}$ $I = \frac{45}{3840} 	imes \frac{\pi}{2} = \frac{3}{256} 	imes \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{512}$।

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^6 x \cos^4 x \, dx =$

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$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin^2 x \cos^2 x (\sin x + \cos x) \, dx = $

मान लीजिए $f(x) = \int\limits_0^{x^2} {(t - 1)(t - 4)(t - 9)} dt$,तो:

$\lim \limits_{x \rightarrow 1} \left( \frac{\int \limits_{0}^{(x-1)^{2}} t \cos(t^{2}) dt}{(x-1) \sin(x-1)} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left\{\sin ^5\left(\frac{\pi}{6 n}\right)+\sin ^5\left(\frac{2 \pi}{6 n}\right)+\sin ^5\left(\frac{3 \pi}{6 n}\right)+\ldots+\sin ^5\left(\frac{\pi}{2}\right)\right\} = $

यदि $f(x) = \int_{9x^2}^{x^4} 5^{\sqrt{t}} dt$ है,तो $\lim_{h \to 0} \frac{f(3 + h) - f(3 - h)}{h}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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