$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले एक ठोस गोले को दो असमान भागों में विभाजित किया जाता है। $M/8$ द्रव्यमान वाले छोटे भाग को $r$ त्रिज्या के गोले में और बड़े भाग को $t$ मोटाई और $2R$ त्रिज्या की वृत्ताकार डिस्क में परिवर्तित किया जाता है। यदि $I_1$, $r$ त्रिज्या वाले गोले की उसके केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण है और $I_2$, डिस्क का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण है, तो उनके जड़त्व आघूर्ण का अनुपात $I_2/I_1 = . . . . . . $ है।

$L$ लंबाई और $M$ द्रव्यमान की एक समान छड़ $AB$ एक चिकनी मेज पर रखी है। $m$ द्रव्यमान का एक छोटा कण $v_0$ वेग के साथ छड़ के केंद्र $O$ से $x$ दूरी पर स्थित बिंदु $C$ पर टकराता है। टक्कर के बाद कण स्थिर हो जाता है। $x$ का वह मान ज्ञात कीजिए जिससे छड़ का बिंदु $A$ टक्कर के ठीक बाद स्थिर रहे:

इस प्रश्न में कथन $1$ और कथन $2$ दिए गए हैं। कथनों के बाद दिए गए चार विकल्पों में से,वह चुनें जो दोनों कथनों का सबसे अच्छा वर्णन करता है।
कथन $1$ : जब किसी अक्ष पर कोणीय गति $\omega$ के साथ घूम रहे पिंड का जड़त्व आघूर्ण $I$ बढ़ता है,तो उसका कोणीय संवेग $L$ अपरिवर्तित रहता है,लेकिन यदि कोई बाहरी टॉर्क लागू नहीं किया जाता है तो गतिज ऊर्जा $K$ बढ़ जाती है।
कथन $2$ : $L = I\omega$ और घूर्णन गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{L^2}{2I}$.

$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक समान पतली बेलनाकार डिस्क को दो समान द्रव्यमान रहित स्प्रिंगों से जोड़ा गया है,जिनका स्प्रिंग नियतांक $k$ है और जो चित्र में दिखाए अनुसार दीवार से जुड़ी हैं। स्प्रिंग डिस्क की धुरी से उसके केंद्र से $d$ दूरी पर दोनों ओर सममित रूप से जुड़ी हैं। धुरी द्रव्यमान रहित है और स्प्रिंग तथा धुरी दोनों क्षैतिज तल में हैं। प्रत्येक स्प्रिंग की बिना खिंची लंबाई $L$ है। डिस्क शुरू में अपनी संतुलन स्थिति में है और उसका द्रव्यमान केंद्र $(CM)$ दीवार से $L$ दूरी पर है। डिस्क $V_0 \hat{i}$ वेग के साथ बिना फिसले लुढ़कती है। घर्षण गुणांक $\mu$ है.
$1.$ जब डिस्क का द्रव्यमान केंद्र अपनी संतुलन स्थिति से $x$ विस्थापन पर होता है,तो डिस्क पर कार्य करने वाला कुल बाहरी बल क्या है?
$(A) -kx$ $(B) -2kx$ $(C) -\frac{2kx}{3}$ $(D) -\frac{4kx}{3}$
$2.$ डिस्क का द्रव्यमान केंद्र किस कोणीय आवृत्ति $\omega$ के साथ सरल आवर्त गति करता है?
$(A) \sqrt{\frac{k}{M}}$ $(B) \sqrt{\frac{2k}{M}}$ $(C) \sqrt{\frac{2k}{3M}}$ $(D) \sqrt{\frac{4k}{3M}}$
$3.$ $V_0$ का अधिकतम मान क्या है जिसके लिए डिस्क बिना फिसले लुढ़केगी?
$(A) \mu g \sqrt{\frac{M}{k}}$ $(B) \mu g \sqrt{\frac{M}{2k}}$ $(C) \mu g \sqrt{\frac{3M}{k}}$ $(D) \mu g \sqrt{\frac{5M}{2k}}$

$O$ पर धुरी वाला एक पतला समान छड़,क्षैतिज तल में स्थिर कोणीय गति $\omega$ के साथ घूम रहा है,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। समय $t = 0$ पर,$m$ द्रव्यमान का एक छोटा कीड़ा $O$ से शुरू होता है और छड़ के सापेक्ष स्थिर गति $v$ के साथ दूसरे छोर की ओर बढ़ता है। यह $t = T$ समय पर छड़ के अंत तक पहुँचता है और रुक जाता है। पूरी प्रक्रिया के दौरान सिस्टम की कोणीय गति $\omega$ बनी रहती है। $O$ के परितः सिस्टम पर लगने वाले टॉर्क $(|\vec{\tau}|)$ के परिमाण को समय के फलन के रूप में कौन सा प्लॉट सबसे अच्छी तरह दर्शाता है?

$ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है जिसका केंद्र $O$ है। $\vec F_1, \vec F_2$ और $\vec F_3$ क्रमशः भुजाओं $AB, BC$ और $AC$ के अनुदिश कार्य करने वाले तीन बलों को दर्शाते हैं। यदि $O$ के परितः कुल बलाघूर्ण (टॉर्क) शून्य है,तो $\vec F_3$ का परिमाण क्या है?