int_0^{1/sqrt{2}} frac{sin^{-1}x}{(1-x^2)^{3/ | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_0^{1/\sqrt{2}} \frac{\sin^{-1}x}{(1-x^2)^{3/2}} dx$. $\sin^{-1}x = t$ प्रतिस्थापन करने पर,जिससे $x = \sin t$ और $dx = \cos t \, dt$

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\log 2$

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \int_0^{1/\sqrt{2}} \frac{\sin^{-1}x}{(1-x^2)^{3/2}} dx$. $\sin^{-1}x = t$ प्रतिस्थापन करने पर,जिससे $x = \sin t$ और $dx = \cos t \, dt$ प्राप्त होता है। जब $x = 0$,तो $t = 0$ और जब $x = 1/\sqrt{2}$,तो $t = \pi/4$ होता है। अतः समाकलन $I = \int_0^{\pi/4} \frac{t \cos t}{(1-\sin^2 t)^{3/2}} dt = \int_0^{\pi/4} \frac{t \cos t}{\cos^3 t} dt = \int_0^{\pi/4} t \sec^2 t \, dt$ हो जाता है। खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$,जहाँ $u = t$ और $dv = \sec^2 t \, dt$ है। अतः $du = dt$ और $v = 	an t$ प्राप्त होता है। $I = [t 	an t]_0^{\pi/4} - \int_0^{\pi/4} 	an t \, dt$. $I = [\frac{\pi}{4} 	an(\frac{\pi}{4}) - 0] - [\log|\sec t|]_0^{\pi/4}$. $I = \frac{\pi}{4}(1) - [\log(\sec \frac{\pi}{4}) - \log(\sec 0)]$. $I = \frac{\pi}{4} - [\log(\sqrt{2}) - \log(1)] = \frac{\pi}{4} - \log(2^{1/2}) = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \log 2$.

$\int_0^{1/\sqrt{2}} \frac{\sin^{-1}x}{(1-x^2)^{3/2}} dx = $

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