mathop {lim }limits_{n to infty } sumlimits_{ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $I = \mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{k}{{{n^2} + {k^2}}}} $. અંશ અને છેદને $n^2$ વડે ભાગતા: $I = \math

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{2}\log 2$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $I = \mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{k}{{{n^2} + {k^2}}}} $. અંશ અને છેદને $n^2$ વડે ભાગતા: $I = \mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{k/n^2}{1 + (k/n)^2}} = \mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \frac{1}{n} \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{k/n}{1 + (k/n)^2}}$. નિયત સંકલનની વ્યાખ્યા મુજબ,જ્યાં $\frac{k}{n} = x$ અને $\frac{1}{n} = dx$,જ્યારે $n 	o \infty$ થાય ત્યારે સરવાળો નીચે મુજબ બને છે: $I = \int\limits_0^1 {\frac{x}{{1 + {x^2}}}dx} $. ધારો કે $u = 1 + x^2$,તેથી $du = 2x dx$,અથવા $x dx = \frac{1}{2} du$. જ્યારે $x = 0, u = 1$. જ્યારે $x = 1, u = 2$. $I = \frac{1}{2} \int\limits_1^2 {\frac{1}{u} du} = \frac{1}{2} [\log |u|]_1^2 = \frac{1}{2} (\log 2 - \log 1) = \frac{1}{2} \log 2$.

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{k}{{{n^2} + {k^2}}}} $ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left[ {\frac{{n!}}{{{n^n}}}} \right]^{1/n}}$ ની કિંમત શોધો.

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{1+n}+\frac{1}{2+n}+\frac{1}{3+n}+\ldots+\frac{1}{2 n}\right)$ ની કિંમત શોધો :-

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{{{{\left( {n + 1} \right)}^{1/3}}}}{{{n^{4/3}}}} + \frac{{{{\left( {n + 2} \right)}^{1/3}}}}{{{n^{4/3}}}} + \dots + \frac{{{{\left( {2n} \right)}^{1/3}}}}{{{n^{4/3}}}}} \right)$ ની કિંમત શોધો.

જો $a = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{2n}{n^2+k^2}$ અને $f(x) = \sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}$,$x \in (0, 1)$,હોય તો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module