श्रेणी 1 cdot 3 cdot 5 + 2 cdot 5 cdot 8 + 3 | vedclass

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Question

(A) श्रेणी का $n$-वाँ पद $T_n = n(2n + 1)(3n + 2)$ है।$T_n = n(6n^2 + 4n + 3n + 2) = 6n^3 + 7n^2 + 2n$.योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = 6\sum n^3 + 7\s

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$\frac{n(n + 1)(9n^2 + 23n + 13)}{6}$

Vedclass · Answer

(A) श्रेणी का $n$-वाँ पद $T_n = n(2n + 1)(3n + 2)$ है।$T_n = n(6n^2 + 4n + 3n + 2) = 6n^3 + 7n^2 + 2n$.योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = 6\sum n^3 + 7\sum n^2 + 2\sum n$.मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर:$S_n = 6 \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 + 7 \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right] + 2 \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]$.$S_n = \frac{n(n+1)}{2} \left[ 3n(n+1) + \frac{7(2n+1)}{3} + 2 \right]$.$S_n = \frac{n(n+1)}{6} [9n^2 + 9n + 14n + 7 + 6] = \frac{n(n+1)(9n^2 + 23n + 13)}{6}$.

श्रेणी $1 \cdot 3 \cdot 5 + 2 \cdot 5 \cdot 8 + 3 \cdot 7 \cdot 11 + \dots$ के $n$ पदों का योग क्या है?

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$1 + \frac{1^3 + 2^3}{1 + 2} + \frac{1^3 + 2^3 + 3^3}{1 + 2 + 3} + \dots + \frac{1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 15^3}{1 + 2 + 3 + \dots + 15} - \frac{1}{2}(1 + 2 + 3 + \dots + 15)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\alpha_r$ और $\beta_r$ (जहाँ $\alpha_r < \beta_r$) द्विघात समीकरण $x^2 - r^2(r + 1)x + r^5 = 0$ के मूल हैं,तो $\sum_{r=1}^{n} (3\alpha_r + 2\beta_r)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$a_{n} = (n-1)(2-n)(3+n)$ द्वारा परिभाषित अनुक्रम का $20$ वाँ पद क्या है?

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