समुच्चय $S = \{1, 2, 3, \dots, 12\}$ को तीन समान आकार के समुच्चयों $A, B, C$ में इस प्रकार विभाजित किया जाता है कि $A \cup B \cup C = S$ और $A \cap B = B \cap C = C \cap A = \phi$ हो। $S$ को कितने तरीकों से विभाजित किया जा सकता है?

$5$ क्रम का एक वर्ग आव्यूह इस प्रकार है कि सभी $i + j = 6$ के लिए $a_{ij} = 0$ है,जहाँ सभी $i, j$ के लिए $a_{ij} \in \{0, 1\}$ है। प्रत्येक पंक्ति और प्रत्येक स्तंभ में केवल एक ही शून्येतर अवयव है। तो ऐसे आव्यूहों की संख्या है:

एक संगीत कक्षा में पाँच छात्र $S_1, S_2, S_3, S_4$ और $S_5$ हैं और उनके लिए एक पंक्ति में पाँच सीटें $R_1, R_2, R_3, R_4$ और $R_5$ व्यवस्थित हैं,जहाँ शुरू में सीट $R_i$ छात्र $S_i$ को आवंटित की गई है,$i = 1, 2, 3, 4, 5$। लेकिन,परीक्षा के दिन,पाँच छात्रों को यादृच्छिक रूप से पाँच सीटें आवंटित की जाती हैं।
$(1)$ परीक्षा के दिन,इस बात की प्रायिकता कि छात्र $S_1$ को पहले से आवंटित सीट $R_1$ मिले,और शेष छात्रों में से किसी को भी उसे पहले से आवंटित सीट न मिले,है
$(A)$ $\frac{3}{40}$ $(B)$ $\frac{1}{8}$ $(C)$ $\frac{7}{40}$ $(D)$ $\frac{1}{5}$
$(2)$ $i = 1, 2, 3, 4$ के लिए,मान लीजिए $T_i$ वह घटना है कि छात्र $S_i$ और $S_{i+1}$ परीक्षा के दिन एक-दूसरे के बगल में नहीं बैठते हैं। तो,घटना $T_1 \cap T_2 \cap T_3 \cap T_4$ की प्रायिकता है
$(A)$ $\frac{1}{15}$ $(B)$ $\frac{1}{10}$ $(C)$ $\frac{7}{60}$ $(D)$ $\frac{1}{5}$

एक परीक्षा में,$5$ छात्रों को उनके रोल नंबर के अनुसार सीटें आवंटित की गई हैं। उन तरीकों की संख्या,जिनमें से कोई भी छात्र अपनी आवंटित सीट पर नहीं बैठता है,$..........$ है।

$n$ पत्र और $n$ पते लिखे हुए लिफाफे हैं। इस बात की प्रायिकता कि सभी पत्र सही लिफाफे में न रखे जाएं,है:

यदि $6$ पत्र और $6$ संबंधित लिफाफे हैं,तो सभी पत्रों को गलत लिफाफों में कितने तरीकों से रखा जा सकता है?