मान लीजिए $\vec{u} = \hat{i} + \hat{j}$,$\vec{v} = \hat{i} - \hat{j}$ और $\vec{w} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ है। यदि $\hat{n}$ एक इकाई सदिश है ताकि $\vec{u} \cdot \hat{n} = 0$ और $\vec{v} \cdot \hat{n} = 0$,तो $|\vec{w} \cdot \hat{n}| = ....$

मान लीजिए $\vec{a} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + x\hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,किसी वास्तविक $x$ के लिए। तो $|\vec{a} \times \vec{b}| = r$ संभव है यदि

शीर्षों $A(2, 1, 1)$,$B(1, 2, 5)$,$C(-2, -3, 5)$ और $D(1, -6, -7)$ वाले चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल किसके बराबर है?

दिया गया है कि $|\vec{a}|=\sqrt{3}$,$|\vec{b}|=5$,$\vec{b} \cdot \vec{c}=10$ और $\vec{b}$ तथा $\vec{c}$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{3}$ है। यदि $\vec{a}$,$\vec{b} \times \vec{c}$ के लंबवत है,तो $|\vec{a} \times(\vec{b} \times \vec{c})|$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि सदिश $\overline{PQ}, \overline{QR}, \overline{RS}, \overline{ST}, \overline{TU}$ और $\overline{UP}$ एक नियमित षट्कोण की भुजाओं को दर्शाते हैं।
$\text{कथन}-1$: $\overline{PQ} \times (\overline{RS} + \overline{ST}) \neq \overrightarrow{0}$.
$\text{कथन}-2$: $\overline{PQ} \times \overline{RS} = \overrightarrow{0}$ और $\overline{PQ} \times \overline{ST} \neq \overrightarrow{0}$.

मान लीजिए $\vec{a}=6 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ और $\vec{b}=\hat{i}+\hat{j}$ है। यदि $\vec{c}$ एक ऐसा सदिश है कि $|\vec{c}| \geq 6, \vec{a} \cdot \vec{c}=6|\vec{c}|, |\vec{c}-\vec{a}|=2 \sqrt{2}$ और $\vec{a} \times \vec{b}$ तथा $\vec{c}$ के बीच का कोण $60^{\circ}$ है,तो $|(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}|$ का मान ज्ञात कीजिए।