समतलों ax + by + cz + d = 0 और a'x + b'y + c' | vedclass

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Question

(C) समतलों $ax + by + cz + d = 0$ और $a'x + b'y + c'z + d' = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतल का समीकरण:$(ax + by + cz + d) + \lambda(a'x + b'y +

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$(a'b - ab')y + (a'c - ac')z + (a'd - ad') = 0$

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(C) समतलों $ax + by + cz + d = 0$ और $a'x + b'y + c'z + d' = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतल का समीकरण:$(ax + by + cz + d) + \lambda(a'x + b'y + c'z + d') = 0$पदों को व्यवस्थित करने पर:$x(a + \lambda a') + y(b + \lambda b') + z(c + \lambda c') + (d + \lambda d') = 0 \quad \dots(i)$चूंकि समतल $x$-अक्ष $(y=0, z=0)$ के समांतर है,इसलिए इसके अभिलंब का $x$-अक्ष की दिशा $(1, 0, 0)$ के साथ डॉट गुणनफल शून्य होगा:$1(a + \lambda a') + 0(b + \lambda b') + 0(c + \lambda c') = 0$$a + \lambda a' = 0 \implies \lambda = -\frac{a}{a'}$$\lambda$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:$(ax + by + cz + d) - \frac{a}{a'}(a'x + b'y + c'z + d') = 0$$a'ax + a'by + a'cz + a'd - aa'x - ab'y - ac'z - ad' = 0$$(a'b - ab')y + (a'c - ac')z + (a'd - ad') = 0$$-1$ से गुणा करने पर:$(ab' - a'b)y + (ac' - a'c)z + (ad' - a'd) = 0$

समतलों $ax + by + cz + d = 0$ और $a'x + b'y + c'z + d' = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले और रेखा $y = 0, z = 0$ के समांतर समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

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यदि $\theta$ रेखा $\frac{x + 1}{3} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 2}{4}$ और समतल $2x + y - 3z + 4 = 0$ के बीच का कोण है,तो $64 \csc^2 \theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

बिंदु $(2,-1,-3)$ से गुजरने वाले और रेखाओं $\frac{x-1}{3}=\frac{y+2}{2}=\frac{z}{-4}$ तथा $\frac{x}{2}=\frac{y-1}{-3}=\frac{z-2}{2}$ के समांतर समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

रेखाएँ $\frac{x-2}{1}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-4}{-K}$ और $\frac{x-1}{K}=\frac{y-4}{2}=\frac{z-5}{1}$ समतलीय हैं यदि

रेखा $\vec{r} = (2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) + \lambda(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ और समतल $\vec{r} \cdot (3\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) = 4$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

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