ધારો કે $C$ એ $3$ એકમ ત્રિજ્યા અને $(0, 0)$ કેન્દ્ર ધરાવતું વર્તુળ છે. વર્તુળની જે જીવા કેન્દ્ર આગળ $\frac{2\pi}{3}$ માપનો ખૂણો આંતરે છે,તેના મધ્યબિંદુના બિંદુપથનું સમીકરણ શોધો.

$\lambda$ ના તમામ વાસ્તવિક મૂલ્યોનો ગણ શોધો જેના માટે બિંદુ $P(\lambda, \lambda^2)$ એ $x - y = 0$, $x + y - 2 = 0$ અને $x + 3 = 0$ રેખાઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણની અંદર ન હોય:

ધારો કે $\Gamma$ એ $AB$ વ્યાસ અને $O$ કેન્દ્ર ધરાવતું વર્તુળ છે. ધારો કે $l$ એ $B$ આગળ $\Gamma$ નો સ્પર્શક છે. $\Gamma$ પરના $A$ થી ભિન્ન દરેક બિંદુ $M$ માટે,$M$ આગળનો સ્પર્શક $t$ ધ્યાનમાં લો અને તે $l$ ને $P$ માં છેદે છે તેમ ધારો. $P$ માંથી પસાર થતી અને $AB$ ને સમાંતર રેખા દોરો જે $OM$ ને $Q$ માં છેદે છે. જેમ $M$ એ $\Gamma$ પર બદલાય છે તેમ $Q$ નો બિંદુપથ શું છે?

જો $P$ એક એવું બિંદુ હોય કે જેથી $P$ માંથી વર્તુળો $x^2+y^2+2x-4y-20=0$ અને $x^2+y^2-4x+2y-44=0$ પર દોરેલા સ્પર્શકોની લંબાઈના વર્ગોનો ગુણોત્તર $2:3$ હોય,તો $P$ નો બિંદુપથ એક વર્તુળ છે જેનું કેન્દ્ર :

એક વર્તુળ બિંદુ $(3, 4)$ માંથી પસાર થાય છે અને વર્તુળ $x^2 + y^2 = a^2$ ને લંબછેદી રીતે કાપે છે. તેના કેન્દ્રનો બિંદુપથ એક સીધી રેખા છે. જો આ સીધી રેખાનું ઉગમબિંદુથી અંતર $25$ હોય,તો $a^2$ ની કિંમત કેટલી થાય?

$2$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળોના સમૂહના કેન્દ્રો $x^2 + y^2 = 36$ વર્તુળ પર આવેલા છે. આ સમૂહના કોઈપણ બિંદુનો બિંદુપથ શું છે?