એક રીંગ જમીન પર સરક્યા વગર ગબડે છે. તેનું કેન્દ્ર $C$ અચળ ઝડપ $u$ થી ગતિ કરે છે. $P$ એ રીંગ પરનું કોઈપણ બિંદુ છે. જમીનની સાપેક્ષે $P$ ની ઝડપ કેટલી હશે?

બે ડિસ્ક જેની જડત્વની આઘૂર્ણ $I_1 = 4 \ kg \ m^2$ અને $I_2 = 2 \ kg \ m^2$ તેમના કેન્દ્રીય અક્ષો પર અને તેમના સમતલને લંબ છે,જે અનુક્રમે $10 \ rad/s$ અને $4 \ rad/s$ ની કોણીય ઝડપ સાથે ફરે છે,તેમને સામસામે સંપર્કમાં લાવવામાં આવે છે જેથી તેમની ભ્રમણની અક્ષો એકરૂપ થાય. આ પ્રક્રિયામાં સિસ્ટમની ગતિ ઊર્જામાં થતો ઘટાડો . . . . . . $J$ છે.

$M$ દળ ધરાવતા બે સમાન પદાર્થોને $L$ લંબાઈના દળરહિત સળિયા વડે જોડવામાં આવ્યા છે. હવે એક પદાર્થ પર $J = MV$ જેટલો આઘાત (impulse) સળિયાની લંબાઈ સાથે $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવતી દિશામાં આપવામાં આવે છે. આઘાત આપ્યા પછી તરત જ સળિયાનો કોણીય વેગ કેટલો હશે?

નીચેના વિધાનો ખરા છે કે ખોટાં તે જણાવો:
$(1)$ વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમમાં દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ અચળ રહે છે.
$(2)$ "જો તંત્ર પર લાગતું પરિણામી આંતરિક બળ શૂન્ય હોય, તો તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન અચળ રહે છે." આ રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમનું વિધાન છે.
$(3)$ દઢ પદાર્થના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન હંમેશા દઢ પદાર્થની અંદર જ હોય છે.
$(4)$ ચાકગતિ કરતાં દઢ પદાર્થના બધા કણોનો રેખીય વેગ સમાન હોય છે.

આકૃતિ $1$ માં દર્શાવ્યા મુજબ એક વ્યક્તિ પોતાની આંગળીના ટેરવા પાસે $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યાની એક વર્તુળાકાર રીંગને ફેરવે છે. આ પ્રક્રિયામાં,આંગળી રીંગની અંદરની ધાર સાથેનો સંપર્ક ક્યારેય ગુમાવતી નથી. આંગળી શંકુની સપાટી બનાવે છે,જે તૂટક રેખા દ્વારા દર્શાવેલ છે. રીંગ અને આંગળી જ્યાં સંપર્કમાં છે તે બિંદુ દ્વારા રચાયેલા પથની ત્રિજ્યા $r$ છે. આંગળી $\omega_0$ કોણીય વેગ સાથે ફરે છે. ફરતી રીંગ એ નાના વર્તુળની બહારની બાજુએ સરક્યા વિના ગબડે છે જે રીંગ અને આંગળીના સંપર્ક બિંદુ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે (આકૃતિ $2$). રીંગ અને આંગળી વચ્ચેનો ઘર્ષણાંક $\mu$ છે અને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ છે.
$(1)$ રીંગની કુલ ગતિ ઊર્જા કેટલી છે?
$[A]$ $M \omega_0^2 R^2$ $[B]$ $\frac{1}{2} M \omega_0^2(R-r)^2$ $[C]$ $M \omega_0^2(R-r)^2$ $[D]$ $\frac{3}{2} M \omega_0^2(R-r)^2$
$(2)$ $\omega_0$ નું લઘુત્તમ મૂલ્ય જેનાથી નીચે રીંગ નીચે પડી જશે તે છે:
$[A]$ $\sqrt{\frac{g}{\mu(R-r)}}$ $[B]$ $\sqrt{\frac{2 g}{\mu(R-r)}}$ $[C]$ $\sqrt{\frac{3 g}{2 \mu(R-r)}}$ $[D]$ $\sqrt{\frac{g}{2 \mu(R-r)}}$
પ્રશ્ન $(1)$ અને $(2)$ ના જવાબ આપો:

$m = 1 \, kg$ દળનો એક બ્લોક $v = 6 \, m/s$ ના વેગ સાથે ઘર્ષણરહિત સમક્ષિતિજ સપાટી પર સરકે છે અને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ એક સમાન ઉર્ધ્વ સળિયા સાથે અથડાઈને તેને ચોંટી જાય છે. સળિયો $O$ બિંદુએ ધરી પર ફરે છે અને અથડામણને પરિણામે તે થોડી ક્ષણ માટે સ્થિર થાય તે પહેલાં $\theta$ ખૂણો બનાવે છે. જો સળિયાનું દળ $M = 2 \, kg$ અને લંબાઈ $l = 1 \, m$ હોય,તો $\theta$ નું મૂલ્ય આશરે કેટલું હશે ($^{\circ}$ માં)? ($g = 10 \, m/s^2$ લો)