(x^2+y^2) dy = xy dx. જો y(x_0) = e અને y(1) | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x^2+y^2) dy = xy dx$,જેને $\frac{dy}{dx} = \frac{xy}{x^2+y^2}$ તરીકે લખી શકાય.આ એક સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$

Vedclass · Accepted Answer

$\sqrt{3} e$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x^2+y^2) dy = xy dx$,જેને $\frac{dy}{dx} = \frac{xy}{x^2+y^2}$ તરીકે લખી શકાય.આ એક સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તો $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{v}{1+v^2}$.$x \frac{dv}{dx} = \frac{v}{1+v^2} - v = \frac{v - v - v^3}{1+v^2} = \frac{-v^3}{1+v^2}$.ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{1+v^2}{-v^3} dv = \int \frac{1}{x} dx$.$\int (-v^{-3} - v^{-1}) dv = \ln|x| + C$.$\frac{v^{-2}}{2} - \ln|v| = \ln|x| + C \Rightarrow \frac{1}{2v^2} = \ln|vx| + C = \ln|y| + C$.$y(1) = 1$ હોવાથી,$\frac{1}{2(1)^2} = \ln(1) + C$,તેથી $C = \frac{1}{2}$.આમ,$\frac{1}{2v^2} = \ln|y| + \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{x^2}{2y^2} = \ln|y| + \frac{1}{2}$.$y(x_0) = e$ આપેલ છે,તેથી $x = x_0$ અને $y = e$ મૂકતા: $\frac{x_0^2}{2e^2} = \ln(e) + \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.$x_0^2 = 3e^2 \Rightarrow x_0 = \sqrt{3}e$.

$(x^2+y^2) dy = xy dx$. જો $y(x_0) = e$ અને $y(1) = 1$ હોય,તો $x_0$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

બીજમાં રહેલા અવશિષ્ટ પ્રદેહ (nucellus) ને શું કહેવામાં આવે છે?

નીચેનામાંથી કયો નેશનલ પાર્ક પ્રખ્યાત કસ્તુરી મૃગ અથવા હંગુલનું નિવાસસ્થાન છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module