एक थैले में $6$ गेंदें हैं। इसमें से यादृच्छिक रूप से दो गेंदें निकाली जाती हैं और दोनों काली पाई जाती हैं। इस बात की प्रायिकता क्या है कि थैले में कम से कम $5$ काली गेंदें हैं?

तीन थैले $B_1, B_2$ और $B_3$ हैं। थैले $B_1$ में $5$ लाल और $5$ हरी गेंदें हैं,$B_2$ में $3$ लाल और $5$ हरी गेंदें हैं,और $B_3$ में $5$ लाल और $3$ हरी गेंदें हैं। थैलों $B_1, B_2$ और $B_3$ के चुने जाने की प्रायिकताएँ क्रमशः $\frac{3}{10}, \frac{3}{10}$ और $\frac{4}{10}$ हैं। एक थैला यादृच्छिक रूप से चुना जाता है और उस थैले से एक गेंद यादृच्छिक रूप से चुनी जाती है। तो निम्नलिखित में से कौन सा/से विकल्प सही है/हैं?
$(1)$ प्रायिकता कि चुना गया थैला $B_3$ है और चुनी गई गेंद हरी है,$\frac{3}{20}$ के बराबर है
$(2)$ प्रायिकता कि चुनी गई गेंद हरी है,$\frac{39}{80}$ के बराबर है
$(3)$ प्रायिकता कि चुनी गई गेंद हरी है,यह देखते हुए कि चुना गया थैला $B_3$ है,$\frac{3}{8}$ के बराबर है
$(4)$ प्रायिकता कि चुना गया थैला $B_3$ है,यह देखते हुए कि चुनी गई गेंद हरी है,$\frac{4}{13}$ के बराबर है

एक थैली में $6$ गेंदें हैं। यदि एक बार में तीन गेंदें निकाली जाती हैं और वे सभी हरी पाई जाती हैं,तो थैली में ठीक $5$ गेंदों के हरे होने की प्रायिकता क्या है?

एक बॉक्स $B_1$ में $3$ नीली गेंदें और $6$ लाल गेंदें हैं। एक अन्य बॉक्स $B_2$ में $8$ नीली गेंदें और $n$ लाल गेंदें $(n \in N)$ हैं। एक बॉक्स से यादृच्छिक रूप से चुनी गई एक गेंद लाल पाई जाती है। यदि $p$ वह प्रायिकता है कि यह निकाली गई लाल गेंद बॉक्स $B_2$ से है,तो

एक आदमी $4$ में से $3$ बार सच बोलता है। वह एक पासा फेंकता है और बताता है कि यह $6$ है। तो इस बात की प्रायिकता क्या है कि वास्तव में $6$ है?

बॉक्स $A$ में $2$ काली और $3$ लाल गेंदें हैं,जबकि बॉक्स $B$ में $3$ काली और $4$ लाल गेंदें हैं। इन दो बॉक्सों में से एक को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है; और बॉक्स $A$ को चुनने की प्रायिकता बॉक्स $B$ की तुलना में दोगुनी है। यदि चुने गए बॉक्स से एक लाल गेंद निकाली जाती है,तो इसके बॉक्स $B$ से आने की प्रायिकता क्या है?