$5600$ વર્ષથી વધુ સમય માટે રેડિયોએક્ટિવ કાર્બન ડેટિંગ માટે વપરાતું તત્વ કયું છે?

કોઈ ક્ષણે બે રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થોના જથ્થાનો ગુણોત્તર $2:1$ છે. તેમના અર્ધ-આયુષ્ય અનુક્રમે $12 \text{ કલાક}$ અને $16 \text{ કલાક}$ છે. $2 \text{ દિવસ}$ પછી તેમના બાકી રહેલા જથ્થાનો ગુણોત્તર કેટલો થશે?

એક રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાનો $10 \%$ ભાગ $1$ દિવસમાં ક્ષય પામે છે. $2$ દિવસ પછી,ન્યુક્લિયસનો ક્ષય પામેલો ટકાવારી ભાગ ...... $\%$ હશે.

જો તમામ સ્વતંત્ર રાશિઓમાં માપન ક્ષતિઓ જાણીતી હોય,તો કોઈપણ આશ્રિત રાશિમાં ક્ષતિ નક્કી કરવી શક્ય છે. આ શ્રેણી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરીને અને ક્ષતિના પ્રથમ ઘાત પર વિસ્તરણને કાપીને કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે,સંબંધ $z = x / y$ ધ્યાનમાં લો. જો $x, y$ અને $z$ માં ક્ષતિઓ અનુક્રમે $\Delta x, \Delta y$ અને $\Delta z$ હોય,તો $z \pm \Delta z = \frac{x \pm \Delta x}{y \pm \Delta y} = \frac{x}{y}(1 \pm \frac{\Delta x}{x})(1 \pm \frac{\Delta y}{y})^{-1}$. $(1 \pm \frac{\Delta y}{y})^{-1}$ માટે શ્રેણી વિસ્તરણ,$\Delta y / y$ માં પ્રથમ ઘાત સુધી,$1 \mp(\Delta y / y)$ છે. સ્વતંત્ર ચલોમાં સાપેક્ષ ક્ષતિઓ હંમેશા ઉમેરવામાં આવે છે. તેથી $z$ માં ક્ષતિ $\Delta z = z(\frac{\Delta x}{x} + \frac{\Delta y}{y})$ હશે. ઉપરોક્ત તારણ એ ધારણા કરે છે કે $\Delta x / x \ll 1, \Delta y / y \ll 1$. તેથી,આ રાશિઓની ઉચ્ચ ઘાતને અવગણવામાં આવે છે.
$(1)$ ગુણોત્તર $r = \frac{(1-a)}{(1+a)}$ ધ્યાનમાં લો જે પરિમાણરહિત રાશિ $a$ માપીને નક્કી કરવામાં આવે છે. જો $a$ ના માપનમાં ક્ષતિ $\Delta a$ $(\Delta a / a \ll 1)$ હોય,તો ક્ષતિ $\Delta r$ શું છે?
$(2)$ એક પ્રયોગમાં,રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસની પ્રારંભિક સંખ્યા $3000$ છે. એવું જોવા મળ્યું છે કે પ્રથમ $1.0 \ s$ માં $1000 \pm 40$ ન્યુક્લિયસ ક્ષય પામ્યા છે. $|x| \ll 1$ માટે,$\ln(1+x) \approx x$ એ $x$ ની પ્રથમ ઘાત સુધી છે. ક્ષય અચળાંક $\lambda$ ના નિર્ધારણમાં ક્ષતિ $\Delta \lambda$ ($s^{-1}$ માં) કેટલી છે?

એક રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $10 \, \text{મિનિટ}$ છે. જો $n_1$ અને $n_2$ એ અનુક્રમે $20 \, \text{મિનિટ}$ અને $30 \, \text{મિનિટ}$ માં ક્ષય પામેલા પરમાણુઓની સંખ્યા હોય, તો $n_1 : n_2 =$

એક રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાનું સરેરાશ આયુષ્ય $\alpha$-ઉત્સર્જન અને $\beta$-ઉત્સર્જન માટે અનુક્રમે $30 \, \text{years}$ અને $60 \, \text{years}$ છે. જો નમૂનો $\alpha$-ઉત્સર્જન અને $\beta$-ઉત્સર્જન બંને દ્વારા એકસાથે ક્ષય પામતો હોય,તો કેટલા સમય પછી નમૂનાનો માત્ર એક-ચતુર્થાંશ ભાગ બાકી રહેશે,તે આશરે ............ $years$ છે.