એક ઉપવલયનું નાભિ ઉગમબિંદુ પર છે. નિયામિકા રેખા $x = 4$ છે અને ઉત્કેન્દ્રતા $\frac{1}{2}$ છે. તો અર્ધ-પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ શોધો.

વિધાન $(A)$: જો ઉપવલય $9x^2 + 16y^2 = 144$ પરના બિંદુ $P(\frac{\pi}{3})$ આગળ દોરેલ સ્પર્શક અને અભિલંબ મુખ્ય અક્ષને અનુક્રમે $Q$ અને $R$ માં મળે,તો $QR = \frac{57}{8}$ થાય.
કારણ $(R)$: જો ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ પરના બિંદુ $P(\theta)$ આગળ દોરેલ સ્પર્શક અને અભિલંબ મુખ્ય અક્ષને અનુક્રમે $Q$ અને $R$ માં મળે,તો $QR = \left| \frac{a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta}{a \cos \theta} \right|$ થાય.

આપેલ શરતો સંતોષતા ઉપવલયનું સમીકરણ શોધો: મુખ્ય અક્ષના અંત્યબિંદુઓ $(0, \pm \sqrt{5})$,ગૌણ અક્ષના અંત્યબિંદુઓ $(\pm 1, 0)$.

ઉપવલય $5x^2 + 9y^2 = 45$ ના નાભિલંબની લંબાઈ કેટલી છે?

જો $P(x, y)$,$F_1 = (3, 0)$,$F_2 = (-3, 0)$ અને $16x^2 + 25y^2 = 400$ હોય,તો $PF_1 + PF_2 = \dots$

શંકુ $36x^2 + 144y^2 - 36x - 96y - 119 = 0$ ની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) શોધો.