$m$ દળનો એક પથ્થર અવગણ્ય દળ અને $k$ સ્પ્રિંગ અચળાંક ધરાવતી સ્થિતિસ્થાપક દોરી સાથે બાંધેલો છે. દોરીની ખેંચાયા વગરની લંબાઈ $L$ છે. દોરીનો બીજો છેડો $P$ બિંદુએ ખીલી સાથે જડેલો છે. શરૂઆતમાં પથ્થરને $P$ બિંદુની સપાટી પર રાખવામાં આવે છે અને તેને શિરોલંબ નીચે પાડવામાં આવે છે.
$(a)$ જ્યારે પદાર્થ પ્રથમ વખત ક્ષણભર માટે સ્થિર થાય ત્યારે ઉપરથી તેનું અંતર $y$ શોધો.
$(b)$ આ પતન દરમિયાન પથ્થર દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ વેગ કેટલો હશે?
$(c)$ પથ્થર તેના સૌથી નીચલા બિંદુએ પહોંચ્યા પછી તેની ગતિનું સ્વરૂપ કેવું હશે?

(N/A) આકૃતિને ધ્યાનમાં લો,પથ્થરને $P$ બિંદુથી નીચે પાડવામાં આવે છે.
$(a)$ પથ્થર $L$ લંબાઈ સુધી મુક્ત પતન કરે છે. ત્યારબાદ,દોરીની સ્થિતિસ્થાપકતા પુનઃસ્થાપક બળ લગાડે છે. ધારો કે પથ્થર $P$ થી $y$ અંતરે ક્ષણિક સ્થિર થાય છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પથ્થરની ગુરુત્વીય સ્થિતિ ઉર્જામાં ઘટાડો = દોરીની સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જામાં વધારો:
$mgy = \frac{1}{2}k(y - L)^2$
$mgy = \frac{1}{2}k(y^2 - 2yL + L^2)$
$2mgy = ky^2 - 2kyL + kL^2$
$ky^2 - 2(mg + kL)y + kL^2 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \frac{2(mg + kL) \pm \sqrt{4(mg + kL)^2 - 4k^2L^2}}{2k}$
$y = \frac{(mg + kL) + \sqrt{m^2g^2 + 2mgkL + k^2L^2 - k^2L^2}}{k}$
$y = L + \frac{mg + \sqrt{m^2g^2 + 2mgkL}}{k}$
$(b)$ મહત્તમ વેગ ત્યારે મળે છે જ્યારે પ્રવેગ શૂન્ય હોય,એટલે કે જ્યારે તણાવ બળ વજન બળ જેટલું હોય: $k(y_{eq} - L) = mg$,તેથી $y_{eq} = L + \frac{mg}{k}$.
શરૂઆત અને સંતુલન સ્થિતિ વચ્ચે ઉર્જા સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરતા:
$mgy_{eq} = \frac{1}{2}mv_{max}^2 + \frac{1}{2}k(y_{eq} - L)^2$
$mg(L + \frac{mg}{k}) = \frac{1}{2}mv_{max}^2 + \frac{1}{2}k(\frac{mg}{k})^2$
$mgL + \frac{m^2g^2}{k} = \frac{1}{2}mv_{max}^2 + \frac{m^2g^2}{2k}$
$v_{max} = \sqrt{2gL + \frac{m^2g^2}{mk}} = \sqrt{2gL + \frac{mg^2}{k}}$.
$(c)$ સૌથી નીચલા બિંદુએ પહોંચ્યા પછી,પથ્થર સંતુલન સ્થિતિ $y_{eq} = L + \frac{mg}{k}$ ની આસપાસ સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરશે.