समतलों $x = ay + b$ और $z = cy + d$ के प्रतिच्छेदन रेखा का सममित रूप क्या है?

रेखा $\vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) + \lambda(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ और समतल $\vec{r} \cdot (2\hat{i} + p\hat{j} + \hat{k}) = 8$ के बीच का न्यून कोण $\theta$ सूत्र $\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{n} = 2\hat{i} + p\hat{j} + \hat{k}$ है। यदि $\theta = \sin^{-1} \left( \frac{\sqrt{2}}{3} \right)$ है, तो $p$ का/के मान है/हैं:

समतल का समीकरण जो रेखाओं $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{\lambda} = \frac{z}{2}$ और $\frac{x + 1}{5} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{\lambda}$ को समाहित करता है, है

यदि रेखा $\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 3}{-2}$ और समतल $x - 2y - kz = 3$ के बीच का कोण $\cos^{-1}\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4}$ को समाहित करता है और रेखाओं $\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{2}$ और $\frac{x}{4} = \frac{y}{2} = \frac{z}{3}$ को समाहित करने वाले समतल के लंबवत है।

बिंदुओं $(2, 1, -1)$ और $(-1, 3, 4)$ से गुजरने वाले और समतल $x - 2y + 4z = 10$ के लंबवत समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।