$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતો એક પાતળો વર્તુળાકાર લૂપ તેના ઉર્ધ્વ વ્યાસની આસપાસ $\omega$ કોણીય આવૃત્તિ સાથે ફરે છે. દર્શાવો કે વાયર લૂપ પરનો એક નાનો મણકો $\omega \leq \sqrt{g / R}$ માટે તેના સૌથી નીચેના બિંદુએ રહે છે. $\omega = \sqrt{2g / R}$ માટે કેન્દ્રથી મણકાને જોડતા ત્રિજ્યા સદિશ દ્વારા શિરોલંબ નીચેની દિશા સાથે બનતો ખૂણો કેટલો હશે? ઘર્ષણને અવગણો.

(D) ધારો કે મણકા $P$ ને કેન્દ્ર $O$ સાથે જોડતો ત્રિજ્યા સદિશ શિરોલંબ નીચેની દિશા સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે.
ધારો કે મણકાનું દળ $m$ છે.
મણકા પર લાગતા બળો:
$1$. વજનબળ $mg$ જે શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે.
$2$. વાયર દ્વારા લાગતું લંબબળ $N$,જે $P$ આગળ સ્પર્શકની લંબ દિશામાં લાગે છે.
બળોના ઘટકો પાડતા:
લંબબળનો શિરોલંબ ઘટક $N \cos \theta$ એ વજનબળ $mg$ ને સંતુલિત કરે છે,તેથી $N \cos \theta = mg$.
લંબબળનો સમક્ષિતિજ ઘટક $N \sin \theta$ એ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $m \omega^2 r$ પૂરું પાડે છે,જ્યાં $r = R \sin \theta$ એ મણકાના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા છે.
તેથી,$N \sin \theta = m \omega^2 (R \sin \theta)$.
$\theta \neq 0$ માટે $\sin \theta \neq 0$ હોવાથી,આપણને $N = m R \omega^2$ મળે છે.
$N$ ની કિંમત શિરોલંબ સમીકરણમાં મૂકતા: $(m R \omega^2) \cos \theta = mg$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{g}{R \omega^2}$.
$\cos \theta \leq 1$ હોવાથી,મણકો સૌથી નીચેના બિંદુએ $(\theta = 0)$ રહેશે જો $\frac{g}{R \omega^2} \geq 1$ હોય,જેનો અર્થ છે કે $\omega \leq \sqrt{\frac{g}{R}}$.
$\omega = \sqrt{\frac{2g}{R}}$ માટે,આપણી પાસે $\omega^2 = \frac{2g}{R}$ છે.
આ કિંમત $\cos \theta$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\cos \theta = \frac{g}{R (2g/R)} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}(0.5) = 60^{\circ}$.