$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक पतली समान वृत्ताकार डिस्क अपने केंद्र से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष पर $\omega$ कोणीय वेग के साथ एक क्षैतिज तल में घूम रही है। समान द्रव्यमान लेकिन आधी त्रिज्या वाली एक और डिस्क को धीरे से इसके ऊपर समाक्षीय रूप से रखा जाता है। संयुक्त डिस्क की कोणीय गति क्या होगी?

$200\, kg$ का एक वैगन $2\, m/s$ के वेग से एक चिकने ट्रैक पर चल रहा है। $80\, kg$ का एक व्यक्ति वैगन में इस प्रकार दौड़ता है कि निकाय के द्रव्यमान केंद्र की गति शून्य हो जाए। वैगन के सापेक्ष व्यक्ति का आपेक्षिक वेग $m/s$ में ज्ञात कीजिए।

$m$ द्रव्यमान और $l$ लंबाई की एक समान छड़ $AB$ एक चिकनी क्षैतिज सतह पर विरामावस्था में है। छड़ के सिरे $B$ पर क्षैतिज दिशा में छड़ के लंबवत एक आवेग $J$ लगाया जाता है। समय $t = \frac{\pi m l}{12 J}$ के बाद छड़ के केंद्र से $A$ की ओर $\frac{l}{6}$ दूरी पर स्थित कण $P$ की चाल ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित समस्याओं में,बेलन पर कार्य करने वाले घर्षण बल की सही दिशा इंगित करें,जिसे एक खुरदरी सतह पर एक स्थिर बल $F$ द्वारा खींचा जाता है। एक बेलन को चित्र में दिखाए अनुसार उसके द्रव्यमान केंद्र के ऊपर एक बिंदु पर कार्य करने वाले बल $F$ द्वारा क्षैतिज रूप से खींचा जाता है। घर्षण बल को निम्नलिखित में से किस आरेख द्वारा दर्शाया जा सकता है?

$ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है जिसका केंद्र $O$ है। $\vec F_1, \vec F_2$ और $\vec F_3$ क्रमशः भुजाओं $AB, BC$ और $AC$ के अनुदिश कार्य करने वाले तीन बलों को दर्शाते हैं। यदि $O$ के परितः कुल बलाघूर्ण (टॉर्क) शून्य है,तो $\vec F_3$ का परिमाण क्या है?

एक दृढ़ पिंड की सामान्य गति को $(i)$ द्रव्यमान केंद्र की एक अक्ष के परितः गति,और $(ii)$ द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली तात्क्षणिक अक्ष के परितः गति के संयोजन के रूप में माना जा सकता है। ये अक्षें स्थिर होना आवश्यक नहीं है। उदाहरण के लिए,एक पतली एकसमान डिस्क पर विचार करें जिसे चित्र में दिखाए अनुसार एक द्रव्यमान रहित छड़ के किनारे पर क्षैतिज रूप से वेल्ड (दृढ़ता से स्थिर) किया गया है। जब डिस्क-छड़ प्रणाली को एक क्षैतिज घर्षण रहित तल पर मूल बिंदु के परितः कोणीय चाल $\omega$ के साथ घुमाया जाता है,तो किसी भी क्षण गति को $(i)$ डिस्क के द्रव्यमान केंद्र की $z$-अक्ष के परितः घूर्णन,और $(ii)$ डिस्क के द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली एक तात्क्षणिक ऊर्ध्वाधर अक्ष के परितः घूर्णन (जैसा कि बिंदुओं $P$ और $Q$ के बदले हुए अभिविन्यास से देखा जा सकता है) के संयोजन के रूप में लिया जा सकता है। इस मामले में दोनों गतियों की कोणीय चाल $\omega$ समान है। अब चित्र में दिखाई गई दो समान प्रणालियों पर विचार करें: स्थिति $(a)$ डिस्क का फलक ऊर्ध्वाधर और $x-z$ तल के समानांतर है; स्थिति $(b)$ डिस्क का फलक $x-y$ तल के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाता है,इसका क्षैतिज व्यास $x$-अक्ष के समानांतर है। दोनों स्थितियों में,डिस्क को बिंदु $P$ पर वेल्ड किया गया है,और प्रणालियों को $z$-अक्ष के परितः स्थिर कोणीय चाल $\omega$ के साथ घुमाया जाता है।
$1.$ तात्क्षणिक अक्ष (द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली) के परितः कोणीय चाल के संबंध में निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?
$(A)$ यह दोनों स्थितियों के लिए $\sqrt{2} \omega$ है।
$(B)$ यह स्थिति $(a)$ के लिए $\omega$ है; और स्थिति $(b)$ के लिए $\frac{\omega}{\sqrt{2}}$ है।
$(C)$ यह स्थिति $(a)$ के लिए $\omega$ है; और स्थिति $(b)$ के लिए $\sqrt{2} \omega$ है।
$(D)$ यह दोनों स्थितियों के लिए $\omega$ है।
$2.$ तात्क्षणिक अक्ष (द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली) के बारे में निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?
$(A)$ यह दोनों स्थितियों $(a)$ और $(b)$ के लिए ऊर्ध्वाधर है।
$(B)$ यह स्थिति $(a)$ के लिए ऊर्ध्वाधर है; और स्थिति $(b)$ के लिए $x-z$ तल से $45^{\circ}$ पर है और डिस्क के तल में स्थित है।
$(C)$ यह स्थिति $(a)$ के लिए क्षैतिज है; और स्थिति $(b)$ के लिए $x-z$ तल से $45^{\circ}$ पर है और डिस्क के तल के लंबवत है।
$(D)$ यह स्थिति $(a)$ के लिए ऊर्ध्वाधर है; और स्थिति $(b)$ के लिए $x-z$ तल से $45^{\circ}$ पर है और डिस्क के तल के लंबवत है।
प्रश्न $1$ और $2$ के उत्तर दें।