एक बहुत ऊंचे ऊर्ध्वाधर सिलेंडर में T तापमान प | vedclass

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Question

(D) गुरुत्वाकर्षण के तहत एक ऊर्ध्वाधर सिलेंडर में,दबाव में परिवर्तन $dp = -\rho g dh$ द्वारा दिया जाता है। आदर्श गैस समीकरण $p = \frac{\rho RT}{M}$ का

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उपरोक्त सभी

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(D) गुरुत्वाकर्षण के तहत एक ऊर्ध्वाधर सिलेंडर में,दबाव में परिवर्तन $dp = -\rho g dh$ द्वारा दिया जाता है। आदर्श गैस समीकरण $p = \frac{\rho RT}{M}$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास $\rho = \frac{pM}{RT}$ है। इसे दबाव समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $dp = -\frac{pMg}{RT} dh$,जो $\frac{dp}{p} = -\frac{Mg}{RT} dh$ देता है। आधार $(h=0, p=p_0)$ से ऊंचाई $h$ तक एकीकृत करने पर: $\ln(\frac{p}{p_0}) = -\frac{Mgh}{RT}$,इसलिए $p = p_0 e^{-\frac{Mgh}{RT}}$। चूंकि $\rho = \frac{pM}{RT}$,घनत्व $\rho = \rho_0 e^{-\frac{Mgh}{RT}}$ है। समतापीय स्थितियों में ($T$ स्थिर है),$\rho$ $h$ पर निर्भर करता है,इसलिए यह समान नहीं हो सकता है। अतः,कथन $A$ और $B$ सही हैं। समान घनत्व के लिए,$\frac{d\rho}{dh} = 0$ होना चाहिए। $\rho = \frac{pM}{RT}$ से,हमारे पास $\frac{d\rho}{dh} = \frac{M}{R} \frac{d}{dh} (\frac{p}{T}) = 0$ है। $dp = -\rho g dh$ का उपयोग करते हुए,हमें $\frac{d}{dh} (\frac{p}{T}) = \frac{1}{T} \frac{dp}{dh} - \frac{p}{T^2} \frac{dT}{dh} = -\frac{\rho g}{T} - \frac{p}{T^2} \frac{dT}{dh} = 0$ मिलता है। $\rho = \frac{pM}{RT}$ को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $-\frac{pMg}{RT^2} - \frac{p}{T^2} \frac{dT}{dh} = 0$ मिलता है,जो सरल होकर $\frac{dT}{dh} = -\frac{Mg}{R}$ हो जाता है। अतः,सभी कथन सही हैं।

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