अवकल समीकरण x frac{dy}{dx} + y log x = x e^x | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + y \log x = x e^x x^{-\frac{1}{2} \log x}$ है।$x$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + \left( \frac{\lo

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$(\sqrt{x})^{\log x}$

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(B) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + y \log x = x e^x x^{-\frac{1}{2} \log x}$ है।$x$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + \left( \frac{\log x}{x} \right) y = e^x x^{-\frac{1}{2} \log x}$ प्राप्त होता है।यह $\frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{\log x}{x}$ है।समाकलन गुणक $(I.F.)$ $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{\log x}{x} dx}$ द्वारा दिया जाता है।माना $u = \log x$,तब $du = \frac{1}{x} dx$। अतः,$\int \frac{\log x}{x} dx = \int u du = \frac{u^2}{2} = \frac{(\log x)^2}{2}$।इसलिए,$I.F. = e^{\frac{1}{2} (\log x)^2} = (e^{\frac{1}{2} \log x})^{\log x} = (e^{\log \sqrt{x}})^{\log x} = (\sqrt{x})^{\log x}$।

अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + y \log x = x e^x x^{-\frac{1}{2} \log x}$,$(x > 0)$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) है

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