બોડી-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(BCC)$ સ્ટ્રક્ચર માટે મેટલ ક્રિસ્ટલની પેકિંગ કાર્યક્ષમતાની ગણતરી કરો.

(N/A) બોડી-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(BCC)$ યુનિટ સેલમાં,કેન્દ્રમાં રહેલો પરમાણુ બોડી ડાયાગોનલ પર ત્રાંસા ગોઠવાયેલા અન્ય બે પરમાણુઓના સંપર્કમાં હોય છે.
ઘનની ભૂમિતિ પરથી,ધારો કે ધારની લંબાઈ $a$ છે અને પરમાણુની ત્રિજ્યા $r$ છે.
ફેસ ડાયાગોનલ $b$ નીચે મુજબ મળે છે:
$b^{2} = a^{2} + a^{2} = 2a^{2}$
$b = \sqrt{2}a$
બોડી ડાયાગોનલ $c$ નીચે મુજબ મળે છે:
$c^{2} = a^{2} + b^{2} = a^{2} + 2a^{2} = 3a^{2}$
$c = \sqrt{3}a$
જેহেতু બોડી ડાયાગોનલ પરના પરમાણુઓ એકબીજાને સ્પર્શે છે,તેથી બોડી ડાયાગોનલની લંબાઈ $c = 4r$ થાય.
તેથી,$\sqrt{3}a = 4r$,જે $a = \frac{4r}{\sqrt{3}}$ આપે છે.
યુનિટ સેલનું કદ $a^{3} = \left(\frac{4r}{\sqrt{3}}\right)^{3} = \frac{64r^{3}}{3\sqrt{3}}$ છે.
$BCC$ યુનિટ સેલમાં $2$ પરમાણુઓ હોય છે. આ $2$ પરમાણુઓ દ્વારા રોકાયેલ કદ:
$V_{occupied} = 2 \times \frac{4}{3} \pi r^{3} = \frac{8}{3} \pi r^{3}$.
પેકિંગ કાર્યક્ષમતાની ગણતરી નીચે મુજબ થાય છે:
$\text{Packing Efficiency} = \frac{\text{Volume of } 2 \text{ atoms}}{\text{Total volume of unit cell}} \times 100\%$
$= \frac{\frac{8}{3} \pi r^{3}}{\frac{64r^{3}}{3\sqrt{3}}} \times 100\%$
$= \frac{8\pi}{3} \times \frac{3\sqrt{3}}{64} \times 100\%$
$= \frac{\sqrt{3}\pi}{8} \times 100\% \approx 68\%$.