$52$ પત્તાંના સારી રીતે ચીપેલા પેકમાંથી એક પછી એક પત્તું બદલ્યા વગર ખેંચવામાં આવે છે. ત્રીજા પ્રયત્ને પહેલીવાર ફેસ કાર્ડ (ગલ્લો, રાણી અથવા રાજા) આવે તેની સંભાવના કેટલી છે?

જો $S$ એ યાદચ્છિક પ્રયોગ $\xi$ નો નિદર્શાવકાશ હોય અને $P$ એ $S$ ના ઘાતગણ $\mathcal{P}(S)$ પર વ્યાખ્યાયિત સંભાવના વિધેય હોય,તો નીચેનામાંથી કયું $P$ દ્વારા સંતોષાતું નથી?
$(i)$ $P(\phi) = 0$
(ii) જો $E^c$ એ $E$ ની પૂરક ઘટના હોય,તો $P(E^c) = 1 - P(E)$
(iii) $0 \leq P(E) \leq 1, \forall E \subseteq S$
(iv) જો $E_1 \subseteq E_2$,તો $P(E_2) \leq P(E_1)$

એક બોક્સ $B_1$ માં $1$ સફેદ દડો,$3$ લાલ દડા અને $2$ કાળા દડા છે. બીજા બોક્સ $B_2$ માં $2$ સફેદ દડા,$3$ લાલ દડા અને $4$ કાળા દડા છે. ત્રીજા બોક્સ $B_3$ માં $3$ સફેદ દડા,$4$ લાલ દડા અને $5$ કાળા દડા છે.
$1.$ જો દરેક બોક્સ $B_1, B_2$ અને $B_3$ માંથી $1$ દડો કાઢવામાં આવે,તો ત્રણેય દડા એક જ રંગના હોય તેની સંભાવના કેટલી?
$(A)$ $\frac{82}{648}$ $(B)$ $\frac{90}{648}$ $(C)$ $\frac{558}{648}$ $(D)$ $\frac{566}{648}$
$2.$ જો યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલા બોક્સમાંથી $2$ દડા (પુનઃસ્થાપન વગર) કાઢવામાં આવે અને તેમાંથી એક દડો સફેદ અને બીજો લાલ હોય,તો આ $2$ દડા બોક્સ $B_2$ માંથી કાઢવામાં આવ્યા હોય તેની સંભાવના કેટલી?
$(A)$ $\frac{116}{181}$ $(B)$ $\frac{126}{181}$ $(C)$ $\frac{65}{181}$ $(D)$ $\frac{55}{181}$
પ્રશ્ન $1$ અને $2$ માટે સાચા વિકલ્પો પસંદ કરો.

સ્વતંત્ર ઘટનાઓ $A$ અને $B$ માટે,જો $P(A) = \frac{1}{2}$ અને $P(A \cup B) = \frac{3}{5}$ હોય,તો $P(B) =$ . . . . . . .

ધારો કે $X$ અને $Y$ બે ઘટનાઓ એવી છે કે $P(X \mid Y)=\frac{1}{2}$,$P(Y \mid X)=\frac{1}{3}$,અને $P(X \cap Y)=\frac{1}{6}$. નીચેનામાંથી કયું (કયા) સાચું છે?
$(A)$ $P(X \cup Y)=\frac{2}{3}$
$(B)$ $X$ અને $Y$ સ્વતંત્ર છે
$(C)$ $X$ અને $Y$ સ્વતંત્ર નથી
$(D)$ $P(X^C \cap Y)=\frac{1}{3}$

ધારો કે $A, B, C$ એ યાદચ્છિક પ્રયોગની ત્રણ જોડીમાં સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે. જો $P(\bar{B} \cup \bar{C}) = \frac{1}{2}$, $P(A) > 0$, $P(B) = b$ અને $P(C) = c$ હોય, તો $P((\bar{B} \cap \bar{C}) \mid A) = $