आवेश q को R त्रिज्या वाले एक पतले अर्ध-वलय (h | vedclass

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Question

(A) अर्ध-वलय पर लंबाई $d\ell = R d	heta$ का एक छोटा अवयव लें।इस अवयव पर आवेश $dq = \lambda d\ell = \lambda R d	heta$ है,जहाँ $\lambda = \frac{q}{\pi

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$\frac{q}{2{\pi ^2}{\varepsilon _0}{R^2}}$

Vedclass · Answer

(A) अर्ध-वलय पर लंबाई $d\ell = R d	heta$ का एक छोटा अवयव लें।इस अवयव पर आवेश $dq = \lambda d\ell = \lambda R d	heta$ है,जहाँ $\lambda = \frac{q}{\pi R}$ रैखिक आवेश घनत्व है।इस अवयव के कारण केंद्र पर विद्युत क्षेत्र $dE = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{dq}{R^2} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{\lambda R d	heta}{R^2} = \frac{\lambda}{4\pi \varepsilon_0 R} d	heta$ है।सममिति के कारण,विद्युत क्षेत्र के क्षैतिज घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं और केवल ऊर्ध्वाधर घटक जुड़ते हैं।ऊर्ध्वाधर घटक $dE_y = dE \cos 	heta$ है।$-\pi/2$ से $\pi/2$ तक समाकलन करने पर या $2 \int_{0}^{\pi/2} dE \cos 	heta$ लेने पर:$E = 2 \int_{0}^{\pi/2} \frac{\lambda}{4\pi \varepsilon_0 R} \cos 	heta d	heta = \frac{2\lambda}{4\pi \varepsilon_0 R} [\sin 	heta]_0^{\pi/2} = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0 R}$ प्राप्त होता है।$\lambda = \frac{q}{\pi R}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $E = \frac{q/(\pi R)}{2\pi \varepsilon_0 R} = \frac{q}{2\pi^2 \varepsilon_0 R^2}$ प्राप्त होता है।

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