समीकरणों z^3 + 2z^2 + 2z + 1 = 0 और z^{1985} | vedclass

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Question

(A) प्रथम समीकरण को $(z + 1)(z^2 + z + 1) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।इसके मूल $-1, \omega, 	ext{ और } \omega^2$ हैं।माना $f(z) = z^{1985} + z^{1

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$\omega, \omega^2$

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(A) प्रथम समीकरण को $(z + 1)(z^2 + z + 1) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।इसके मूल $-1, \omega, 	ext{ और } \omega^2$ हैं।माना $f(z) = z^{1985} + z^{100} + 1$ है।$z = -1$ के लिए: $f(-1) = (-1)^{1985} + (-1)^{100} + 1 = 1 
eq 0$ है।अतः,$-1$ समीकरण $f(z) = 0$ का मूल नहीं है।$z = \omega$ के लिए: $f(\omega) = \omega^{1985} + \omega^{100} + 1$ है।चूंकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $f(\omega) = (\omega^3)^{661} \cdot \omega^2 + (\omega^3)^{33} \cdot \omega + 1 = \omega^2 + \omega + 1 = 0$ है।अतः,$\omega$ समीकरण $f(z) = 0$ का मूल है।इसी प्रकार,$z = \omega^2$ के लिए $f(\omega^2) = \omega^{3970} + \omega^{200} + 1 = \omega + \omega^2 + 1 = 0$ है।अतः,उभयनिष्ठ मूल $\omega 	ext{ और } \omega^2$ हैं।

समीकरणों $z^3 + 2z^2 + 2z + 1 = 0$ और $z^{1985} + z^{100} + 1 = 0$ के उभयनिष्ठ मूल हैं

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