वक्रों C_1: y^2=4x और C_2: x^2+y^2-6x+1=0 पर | vedclass

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Question

(A) दिया गया है: $C_1: y^2=4x$,जहाँ $a=1$ है। $C_2: x^2+y^2-6x+1=0$,जिसका केंद्र $(3,0)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{3^2+0^2-1} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ है।

Vedclass · Accepted Answer

कथन और कारण दोनों सत्य हैं और कारण,कथन की सही व्याख्या है।

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है: $C_1: y^2=4x$,जहाँ $a=1$ है। $C_2: x^2+y^2-6x+1=0$,जिसका केंद्र $(3,0)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{3^2+0^2-1} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ है। $C_1$ के लिए स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{1}{m}$ या $m^2x - my + 1 = 0$ है। चूंकि यह $C_2$ की भी स्पर्श रेखा है,केंद्र $(3,0)$ से इस रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $2\sqrt{2}$ के बराबर होनी चाहिए। $\frac{|3m^2+1|}{\sqrt{m^4+m^2}} = 2\sqrt{2}$ दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(3m^2+1)^2 = 8(m^4+m^2)$ $m^4 - 2m^2 + 1 = 0$ $\Rightarrow (m^2-1)^2 = 0$ $\Rightarrow m = \pm 1$। $m=1$ के लिए स्पर्श रेखा $x - y + 1 = 0$ और $m=-1$ के लिए $x + y + 1 = 0$ प्राप्त होती है। ढाल का गुणनफल $1 \cdot (-1) = -1$ है,इसलिए स्पर्श रेखाएँ लंबवत हैं। अतः,कथन और कारण दोनों सत्य हैं और कारण,कथन की सही व्याख्या है।

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