सभी त्रिभुजों OPQ के समूह पर विचार करें जहाँ | vedclass

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Question

(C) बिंदु $P(x_1, y_1)$ और $Q(x_2, y_2)$ रेखा $5x + y = 99$ पर स्थित हैं। चूँकि $y = 99 - 5x$ और $y \ge 0$,इसलिए $5x \le 99$,जिसका अर्थ है $x \in \{0,

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$90$

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(C) बिंदु $P(x_1, y_1)$ और $Q(x_2, y_2)$ रेखा $5x + y = 99$ पर स्थित हैं। चूँकि $y = 99 - 5x$ और $y \ge 0$,इसलिए $5x \le 99$,जिसका अर्थ है $x \in \{0, 1, 2, \dots, 19\}$। ऐसे कुल $20$ बिंदु हैं।शीर्षों $(0,0)$,$(x_1, 99-5x_1)$,और $(x_2, 99-5x_2)$ वाले त्रिभुज $OPQ$ का क्षेत्रफल:$\Delta = \frac{1}{2} |x_1(99-5x_2) - x_2(99-5x_1)|$$\Delta = \frac{99}{2} |x_1 - x_2|$क्षेत्रफल को पूर्णांक होने के लिए,$|x_1 - x_2|$ को एक सम संख्या होनी चाहिए। इसका मतलब है कि $x_1$ और $x_2$ की समता (parity) समान होनी चाहिए (दोनों सम या दोनों विषम)।$10$ सम संख्याएँ $(0, 2, \dots, 18)$ और $10$ विषम संख्याएँ $(1, 3, \dots, 19)$ हैं।समान समता वाले दो भिन्न बिंदुओं को चुनने के तरीके:$^{10}C_2 + ^{10}C_2 = 45 + 45 = 90$।

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