वृत्तों की प्रणाली x^2+y^2+2fy+lambda(x^2+y^2 | vedclass

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Question

(B) दिया गया वृत्तों का निकाय $x^2+y^2+2fy+\lambda(x^2+y^2+2gx+k)=0$ है। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $(1+\lambda)x^2+(1+\lambda)y^2+2g\lambda

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$\frac{k}{2}$

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(B) दिया गया वृत्तों का निकाय $x^2+y^2+2fy+\lambda(x^2+y^2+2gx+k)=0$ है। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $(1+\lambda)x^2+(1+\lambda)y^2+2g\lambda x+2fy+\lambda k=0$ प्राप्त होता है। $(1+\lambda)$ से विभाजित करने पर,हमें $x^2+y^2+2\left(\frac{g\lambda}{1+\lambda}\right)x+2\left(\frac{f}{1+\lambda}\right)y+\frac{\lambda k}{1+\lambda}=0$ प्राप्त होता है। बिंदु वृत्त के लिए,त्रिज्या $r=0$ होनी चाहिए,इसलिए $g'^2+f'^2-c'=0$। मान रखने पर,हमें $\left(\frac{g\lambda}{1+\lambda}\right)^2+\left(\frac{f}{1+\lambda}\right)^2-\frac{\lambda k}{1+\lambda}=0$ प्राप्त होता है। $(1+\lambda)^2$ से गुणा करने पर,हमें $g^2\lambda^2+f^2-\lambda k(1+\lambda)=0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $(g^2-k)\lambda^2-k\lambda+f^2=0$ हो जाता है। मान लीजिए मूल $\lambda_1$ और $\lambda_2$ हैं। बिंदु वृत्तों के केंद्र $A\left(\frac{-g\lambda_1}{1+\lambda_1}, \frac{-f}{1+\lambda_1}\right)$ और $B\left(\frac{-g\lambda_2}{1+\lambda_2}, \frac{-f}{1+\lambda_2}\right)$ हैं। चूंकि $\angle AOB = \frac{\pi}{2}$,ढाल का गुणनफल $m_1 m_2 = -1$ है। $m_1 = \frac{-f/(1+\lambda_1)}{-g\lambda_1/(1+\lambda_1)} = \frac{f}{g\lambda_1}$। अतः,$\left(\frac{f}{g\lambda_1}\right)\left(\frac{f}{g\lambda_2}\right) = -1$ $\Rightarrow \frac{f^2}{g^2\lambda_1\lambda_2} = -1$। द्विघात समीकरण से,$\lambda_1\lambda_2 = \frac{f^2}{g^2-k}$। यह मान रखने पर,$\frac{f^2}{g^2(f^2/(g^2-k))} = -1 \Rightarrow \frac{g^2-k}{g^2} = -1$। $g^2-k = -g^2$ $\Rightarrow 2g^2 = k$ $\Rightarrow g^2 = \frac{k}{2}$।

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$4x^2 + 4y^2 - 12x + 6y - 3 + \lambda(x + 2y - 6) = 0$ कोएक्सियल वृत्त प्रणाली के वृत्तों के केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा का समीकरण क्या है?

$k$ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए वृत्त $x^2 + y^2 + kx + 4y + 2 = 0$ और $2(x^2 + y^2) - 4x - 3y + k = 0$ एक-दूसरे को लंबकोणीय (orthogonally) काटते हैं।

उस वृत्त का केंद्र ज्ञात कीजिए,जो तीन वृत्तों $x^2 + y^2 + 2x + 17y + 4 = 0$,$x^2 + y^2 + 7x + 6y + 11 = 0$,और $x^2 + y^2 - x + 22y + 3 = 0$ को लंबकोणीय रूप से काटता है।

केंद्र $(4, 3)$ वाले उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जो वृत्त $x^2 + y^2 = 1$ को आंतरिक रूप से स्पर्श करता है।

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