એક શ્રેણી $\{a_n\}_{n \geq 0}$ ને $a_n = \sqrt{\frac{1+a_{n-1}}{2}}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરો,જ્યાં $n \geq 1$ અને $a_0 = \cos \theta \neq \pm 1$ છે. તો,$\lim_{n \rightarrow \infty} 4^n(1-a_n)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $S_{n}(x) = \log_{a^{1/2}} x + \log_{a^{1/3}} x + \log_{a^{1/6}} x + \log_{a^{1/11}} x + \log_{a^{1/18}} x + \log_{a^{1/27}} x + \ldots$ $n$-પદો સુધી,જ્યાં $a > 1$. જો $S_{24}(x) = 1093$ અને $S_{12}(2x) = 265$ હોય,તો $a$ ની કિંમત ..... છે.

ધારો કે $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots, x_{20}$ એ $x_{1} = 3$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{2}$ સાથે સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે. દરેક $x_{i}$ ને $(x_{i} - i)^{2}$ દ્વારા બદલીને એક નવો ડેટા સેટ બનાવવામાં આવે છે. જો $\bar{x}$ એ નવા ડેટાનો મધ્યક હોય,તો $\bar{x}$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક $.....$ છે.

ધારો કે $n = 1, 2, 3, \ldots$ માટે $a_n = \frac{10^n}{n!}$ છે,તો $n$ ની એવી મહત્તમ કિંમત શોધો જેના માટે $a_n$ મહત્તમ હોય.

ધારો કે ચાર ભિન્ન ધન સંખ્યાઓ $a_1, a_2, a_3, a_4$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે. ધારો કે $b_1 = a_1$,$b_2 = b_1 + a_2$,$b_3 = b_2 + a_3$ અને $b_4 = b_3 + a_4$.
વિધાન-$I$: સંખ્યાઓ $b_1, b_2, b_3, b_4$ સમાંતર શ્રેણીમાં પણ નથી અને સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં પણ નથી.
વિધાન-$II$: સંખ્યાઓ $b_1, b_2, b_3, b_4$ સ્વરિત શ્રેણીમાં છે.

ધારો કે $3, a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે અને $3, a-1, b+1, c+9$ એ $G.P.$ માં છે. તો $a, b$ અને $c$ નો સમાંતર મધ્યક શોધો: