સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ નો વિકર્ણ $AC$ એ $\angle A$ ને દુભાગે છે (આકૃતિ જુઓ). સાબિત કરો કે $ABCD$ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(N/A) આપેલ છે: એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ જેમાં વિકર્ણ $AC$ એ $\angle A$ ને દુભાગે છે. તેથી,$\angle DAC = \angle BAC$.
સાબિત કરવાનું છે: $ABCD$ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
સાબિતી:
$1$. $ABCD$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,$AD \parallel BC$ અને $AC$ તેની છેદિકા છે.
તેથી,$\angle DAC = \angle BCA$ (યુગ્મકોણ).
$2$. આપણને આપેલ છે કે $\angle DAC = \angle BAC$.
$3$. પગલાં $1$ અને $2$ પરથી,આપણને મળે છે કે $\angle BAC = \angle BCA$.
$4$. $\Delta ABC$ માં,$\angle BAC = \angle BCA$ હોવાથી,આ ખૂણાઓની સામેની બાજુઓ સમાન હોવી જોઈએ.
તેથી,$BC = AB$ (સમાન ખૂણાઓની સામેની બાજુઓ સમાન હોય છે).
$5$. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,સામસામેની બાજુઓ સમાન હોય છે,તેથી $AB = CD$ અને $AD = BC$.
$6$. $AB = BC$ અને $AB = CD, BC = AD$ હોવાથી,આપણને $AB = BC = CD = DA$ મળે છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની બધી બાજુઓ સમાન હોવાથી,તે એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.